Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29241 / 14842
↖ ↑ ↗
← N 69.668541°
W 19.374390°		 ← 212.22 m → N 69.668541°
W 19.368897°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
N 69.666632°
W 19.374390°		 ← 212.24 m →
45 052 m²		 N 69.666632°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446189880371094 y=0.226478576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446189880371094 × 216)
    floor (0.446189880371094 × 65536)
    floor (29241.5)     		tx = 29241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226478576660156 × 216)
    floor (0.226478576660156 × 65536)
    floor (14842.5)     		ty = 14842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29241 / 14842 ti = "16/29241/14842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29241/14842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29241 ÷ 216
    29241 ÷ 65536     		x = 0.446182250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14842 ÷ 216
    14842 ÷ 65536     		y = 0.226470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446182250976562 × 2 - 1) × π
    -0.107635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33814689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226470947265625 × 2 - 1) × π
    0.54705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71863372517825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33814689} λ = -0.33814689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71863372517825))-π/2
    2×atan(5.57690367360984)-π/2
    2×1.39337087596612-π/2
    2.78674175193224-1.57079632675     		φ = 1.21594543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33814689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.374390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21594543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.668541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29241 KachelY 14842 -0.33814689 1.21594543 -19.374390 69.668541
    Oben rechts KachelX + 1 29242 KachelY 14842 -0.33805102 1.21594543 -19.368897 69.668541
    Unten links KachelX 29241 KachelY + 1 14843 -0.33814689 1.21591211 -19.374390 69.666632
    Unten rechts KachelX + 1 29242 KachelY + 1 14843 -0.33805102 1.21591211 -19.368897 69.666632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21594543-1.21591211) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21594543-1.21591211) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33814689--0.33805102) × cos(1.21594543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347450555275792 × 6371000     		do = 212.218549842158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33814689--0.33805102) × cos(1.21591211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347481799190442 × 6371000     		du = 212.237633243114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21594543)-sin(1.21591211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347450555275792-0.347481799190442)×R²
    abs(-0.33805102--0.33814689)×3.12439146509247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12439146509247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12439146509247e-05×40589641000000     		ar = 45052.1443088075m²