Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29241 / 14212
↖ ↑ ↗
← N 70.837462°
W 19.374390°		 ← 200.49 m → N 70.837462°
W 19.368897°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 70.835658°
W 19.374390°		 ← 200.51 m →
40 212 m²		 N 70.835658°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446189880371094 y=0.216865539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446189880371094 × 216)
    floor (0.446189880371094 × 65536)
    floor (29241.5)     		tx = 29241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216865539550781 × 216)
    floor (0.216865539550781 × 65536)
    floor (14212.5)     		ty = 14212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29241 / 14212 ti = "16/29241/14212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29241/14212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29241 ÷ 216
    29241 ÷ 65536     		x = 0.446182250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14212 ÷ 216
    14212 ÷ 65536     		y = 0.21685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446182250976562 × 2 - 1) × π
    -0.107635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33814689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21685791015625 × 2 - 1) × π
    0.5662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77903421869952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33814689} λ = -0.33814689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77903421869952))-π/2
    2×atan(5.92413223874542)-π/2
    2×1.40357163129026-π/2
    2.80714326258051-1.57079632675     		φ = 1.23634694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33814689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.374390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23634694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.837462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29241 KachelY 14212 -0.33814689 1.23634694 -19.374390 70.837462
    Oben rechts KachelX + 1 29242 KachelY 14212 -0.33805102 1.23634694 -19.368897 70.837462
    Unten links KachelX 29241 KachelY + 1 14213 -0.33814689 1.23631546 -19.374390 70.835658
    Unten rechts KachelX + 1 29242 KachelY + 1 14213 -0.33805102 1.23631546 -19.368897 70.835658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23634694-1.23631546) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23634694-1.23631546) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33814689--0.33805102) × cos(1.23634694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32824911527538 × 6371000     		do = 200.490545123518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33814689--0.33805102) × cos(1.23631546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328278850843425 × 6371000     		du = 200.508707244814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23634694)-sin(1.23631546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32824911527538-0.328278850843425)×R²
    abs(-0.33805102--0.33814689)×2.97355680454192e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97355680454192e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97355680454192e-05×40589641000000     		ar = 40212.0205715496m²