Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29240 / 43224
↖ ↑ ↗
← S 49.696062°
W 19.379883°		 ← 395.08 m → S 49.696062°
W 19.374390°		 →
↑
395.13 m
↓
↑
395.13 m
↓
S 49.699615°
W 19.379883°		 ← 395.05 m →
156 103 m²		 S 49.699615°
W 19.374390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446174621582031 y=0.659553527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446174621582031 × 216)
    floor (0.446174621582031 × 65536)
    floor (29240.5)     		tx = 29240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659553527832031 × 216)
    floor (0.659553527832031 × 65536)
    floor (43224.5)     		ty = 43224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29240 / 43224 ti = "16/29240/43224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29240/43224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29240 ÷ 216
    29240 ÷ 65536     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43224 ÷ 216
    43224 ÷ 65536     		y = 0.6595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00245644485461))-π/2
    2×atan(0.366976874617392)-π/2
    2×0.35171821139761-π/2
    0.703436422795219-1.57079632675     		φ = -0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29240 KachelY 43224 -0.33824276 -0.86735990 -19.379883 -49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 29241 KachelY 43224 -0.33814689 -0.86735990 -19.374390 -49.696062
    Unten links KachelX 29240 KachelY + 1 43225 -0.33824276 -0.86742192 -19.379883 -49.699615
    Unten rechts KachelX + 1 29241 KachelY + 1 43225 -0.33814689 -0.86742192 -19.374390 -49.699615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86735990--0.86742192) × R
    6.2019999999996e-05 × 6371000     		dl = 395.129419999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86735990--0.86742192) × R
    6.2019999999996e-05 × 6371000     		dr = 395.129419999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(-0.86735990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 395.083306383635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(-0.86742192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646794903285644 × 6371000     		du = 395.054416625195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86735990)-sin(-0.86742192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.646794903285644)×R²
    abs(-0.33814689--0.33824276)×4.72991763394992e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72991763394992e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72991763394992e-05×40589641000000     		ar = 156103.330156241m²