Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29240 / 18167
↖ ↑ ↗
← N 62.290920°
W 19.379883°		 ← 284.01 m → N 62.290920°
W 19.374390°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
N 62.288365°
W 19.379883°		 ← 284.03 m →
80 666 m²		 N 62.288365°
W 19.374390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446174621582031 y=0.277214050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446174621582031 × 216)
    floor (0.446174621582031 × 65536)
    floor (29240.5)     		tx = 29240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277214050292969 × 216)
    floor (0.277214050292969 × 65536)
    floor (18167.5)     		ty = 18167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29240 / 18167 ti = "16/29240/18167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29240/18167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29240 ÷ 216
    29240 ÷ 65536     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18167 ÷ 216
    18167 ÷ 65536     		y = 0.277206420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277206420898438 × 2 - 1) × π
    0.445587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39985334270488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39985334270488))-π/2
    2×atan(4.05460528579459)-π/2
    2×1.32898898247134-π/2
    2.65797796494267-1.57079632675     		φ = 1.08718164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08718164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.290920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29240 KachelY 18167 -0.33824276 1.08718164 -19.379883 62.290920
    Oben rechts KachelX + 1 29241 KachelY 18167 -0.33814689 1.08718164 -19.374390 62.290920
    Unten links KachelX 29240 KachelY + 1 18168 -0.33824276 1.08713706 -19.379883 62.288365
    Unten rechts KachelX + 1 29241 KachelY + 1 18168 -0.33814689 1.08713706 -19.374390 62.288365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08718164-1.08713706) × R
    4.45799999999608e-05 × 6371000     		dl = 284.01917999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08718164-1.08713706) × R
    4.45799999999608e-05 × 6371000     		dr = 284.01917999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(1.08718164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464982360602987 × 6371000     		do = 284.005539122028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(1.08713706) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465021827704057 × 6371000     		du = 284.029645144679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08718164)-sin(1.08713706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464982360602987-0.465021827704057)×R²
    abs(-0.33814689--0.33824276)×3.9467101070223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9467101070223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9467101070223e-05×40589641000000     		ar = 80666.4436365164m²