Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29240 / 14776
↖ ↑ ↗
← N 69.794136°
W 19.379883°		 ← 210.96 m → N 69.794136°
W 19.374390°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
N 69.792238°
W 19.379883°		 ← 210.98 m →
44 517 m²		 N 69.792238°
W 19.374390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446174621582031 y=0.225471496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446174621582031 × 216)
    floor (0.446174621582031 × 65536)
    floor (29240.5)     		tx = 29240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225471496582031 × 216)
    floor (0.225471496582031 × 65536)
    floor (14776.5)     		ty = 14776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29240 / 14776 ti = "16/29240/14776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29240/14776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29240 ÷ 216
    29240 ÷ 65536     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14776 ÷ 216
    14776 ÷ 65536     		y = 0.2254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2254638671875 × 2 - 1) × π
    0.549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7249613959281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7249613959281))-π/2
    2×atan(5.61230436770983)-π/2
    2×1.39446689665135-π/2
    2.78893379330269-1.57079632675     		φ = 1.21813747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21813747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.794136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29240 KachelY 14776 -0.33824276 1.21813747 -19.379883 69.794136
    Oben rechts KachelX + 1 29241 KachelY 14776 -0.33814689 1.21813747 -19.374390 69.794136
    Unten links KachelX 29240 KachelY + 1 14777 -0.33824276 1.21810435 -19.379883 69.792238
    Unten rechts KachelX + 1 29241 KachelY + 1 14777 -0.33814689 1.21810435 -19.374390 69.792238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21813747-1.21810435) × R
    3.31200000001086e-05 × 6371000     		dl = 211.007520000692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21813747-1.21810435) × R
    3.31200000001086e-05 × 6371000     		dr = 211.007520000692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(1.21813747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345394249972427 × 6371000     		do = 210.962583711477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(1.21810435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345425331501257 × 6371000     		du = 210.981567929159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21813747)-sin(1.21810435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345394249972427-0.345425331501257)×R²
    abs(-0.33814689--0.33824276)×3.10815288292465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10815288292465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10815288292465e-05×40589641000000     		ar = 44516.6945126621m²