Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29240 / 14216
↖ ↑ ↗
← N 70.830248°
W 19.379883°		 ← 200.56 m → N 70.830248°
W 19.374390°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 70.828444°
W 19.379883°		 ← 200.58 m →
40 227 m²		 N 70.828444°
W 19.374390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446174621582031 y=0.216926574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446174621582031 × 216)
    floor (0.446174621582031 × 65536)
    floor (29240.5)     		tx = 29240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216926574707031 × 216)
    floor (0.216926574707031 × 65536)
    floor (14216.5)     		ty = 14216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29240 / 14216 ti = "16/29240/14216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29240/14216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29240 ÷ 216
    29240 ÷ 65536     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14216 ÷ 216
    14216 ÷ 65536     		y = 0.2169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2169189453125 × 2 - 1) × π
    0.566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77865072350256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77865072350256))-π/2
    2×atan(5.92186079805684)-π/2
    2×1.40350867890866-π/2
    2.80701735781732-1.57079632675     		φ = 1.23622103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23622103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.830248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29240 KachelY 14216 -0.33824276 1.23622103 -19.379883 70.830248
    Oben rechts KachelX + 1 29241 KachelY 14216 -0.33814689 1.23622103 -19.374390 70.830248
    Unten links KachelX 29240 KachelY + 1 14217 -0.33824276 1.23618955 -19.379883 70.828444
    Unten rechts KachelX + 1 29241 KachelY + 1 14217 -0.33814689 1.23618955 -19.374390 70.828444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23622103-1.23618955) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23622103-1.23618955) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(1.23622103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328368046150018 × 6371000     		do = 200.563186647222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(1.23618955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328397780416705 × 6371000     		du = 200.581347973664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23622103)-sin(1.23618955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328368046150018-0.328397780416705)×R²
    abs(-0.33814689--0.33824276)×2.97342666872313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97342666872313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97342666872313e-05×40589641000000     		ar = 40226.5894087854m²