Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29239 / 43358
↖ ↑ ↗
← S 50.169862°
W 19.385376°		 ← 391.26 m → S 50.169862°
W 19.379883°		 →
↑
391.24 m
↓
↑
391.24 m
↓
S 50.173380°
W 19.385376°		 ← 391.23 m →
153 072 m²		 S 50.173380°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446159362792969 y=0.661598205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446159362792969 × 216)
    floor (0.446159362792969 × 65536)
    floor (29239.5)     		tx = 29239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661598205566406 × 216)
    floor (0.661598205566406 × 65536)
    floor (43358.5)     		ty = 43358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29239 / 43358 ti = "16/29239/43358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29239/43358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29239 ÷ 216
    29239 ÷ 65536     		x = 0.446151733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43358 ÷ 216
    43358 ÷ 65536     		y = 0.661590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446151733398438 × 2 - 1) × π
    -0.107696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33833864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.32318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01530353395279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33833864} λ = -0.33833864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01530353395279))-π/2
    2×atan(0.36229244508336)-π/2
    2×0.347583527037653-π/2
    0.695167054075305-1.57079632675     		φ = -0.87562927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33833864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.385376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87562927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.169862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29239 KachelY 43358 -0.33833864 -0.87562927 -19.385376 -50.169862
    Oben rechts KachelX + 1 29240 KachelY 43358 -0.33824276 -0.87562927 -19.379883 -50.169862
    Unten links KachelX 29239 KachelY + 1 43359 -0.33833864 -0.87569068 -19.385376 -50.173380
    Unten rechts KachelX + 1 29240 KachelY + 1 43359 -0.33824276 -0.87569068 -19.379883 -50.173380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87562927--0.87569068) × R
    6.14100000000395e-05 × 6371000     		dl = 391.243110000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87562927--0.87569068) × R
    6.14100000000395e-05 × 6371000     		dr = 391.243110000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33833864--0.33824276) × cos(-0.87562927) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.64051373918435 × 6371000     		do = 391.258765541291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33833864--0.33824276) × cos(-0.87569068) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.640466578369149 × 6371000     		du = 391.229957287527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87562927)-sin(-0.87569068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64051373918435-0.640466578369149)×R²
    abs(-0.33824276--0.33833864)×4.71608152009528e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.71608152009528e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.71608152009528e-05×40589641000000     		ar = 153071.660778084m²