Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29239 / 17979
↖ ↑ ↗
← N 62.767297°
W 19.385376°		 ← 279.53 m → N 62.767297°
W 19.379883°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
N 62.764783°
W 19.385376°		 ← 279.55 m →
78 148 m²		 N 62.764783°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446159362792969 y=0.274345397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446159362792969 × 216)
    floor (0.446159362792969 × 65536)
    floor (29239.5)     		tx = 29239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274345397949219 × 216)
    floor (0.274345397949219 × 65536)
    floor (17979.5)     		ty = 17979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29239 / 17979 ti = "16/29239/17979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29239/17979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29239 ÷ 216
    29239 ÷ 65536     		x = 0.446151733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17979 ÷ 216
    17979 ÷ 65536     		y = 0.274337768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446151733398438 × 2 - 1) × π
    -0.107696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33833864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274337768554688 × 2 - 1) × π
    0.451324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41787761696202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33833864} λ = -0.33833864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41787761696202))-π/2
    2×atan(4.12834919726411)-π/2
    2×1.33314616202026-π/2
    2.66629232404053-1.57079632675     		φ = 1.09549600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33833864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.385376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09549600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.767297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29239 KachelY 17979 -0.33833864 1.09549600 -19.385376 62.767297
    Oben rechts KachelX + 1 29240 KachelY 17979 -0.33824276 1.09549600 -19.379883 62.767297
    Unten links KachelX 29239 KachelY + 1 17980 -0.33833864 1.09545212 -19.385376 62.764783
    Unten rechts KachelX + 1 29240 KachelY + 1 17980 -0.33824276 1.09545212 -19.379883 62.764783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09549600-1.09545212) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09549600-1.09545212) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33833864--0.33824276) × cos(1.09549600) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.457605504982659 × 6371000     		do = 279.528999974945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33833864--0.33824276) × cos(1.09545212) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.457644520678001 × 6371000     		du = 279.552832770188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09549600)-sin(1.09545212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457605504982659-0.457644520678001)×R²
    abs(-0.33824276--0.33833864)×3.90156953418153e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.90156953418153e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.90156953418153e-05×40589641000000     		ar = 78148.3132324675m²