Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29239 / 14219
↖ ↑ ↗
← N 70.824835°
W 19.385376°		 ← 200.64 m → N 70.824835°
W 19.379883°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
N 70.823031°
W 19.385376°		 ← 200.66 m →
40 254 m²		 N 70.823031°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446159362792969 y=0.216972351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446159362792969 × 216)
    floor (0.446159362792969 × 65536)
    floor (29239.5)     		tx = 29239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216972351074219 × 216)
    floor (0.216972351074219 × 65536)
    floor (14219.5)     		ty = 14219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29239 / 14219 ti = "16/29239/14219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29239/14219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29239 ÷ 216
    29239 ÷ 65536     		x = 0.446151733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14219 ÷ 216
    14219 ÷ 65536     		y = 0.216964721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446151733398438 × 2 - 1) × π
    -0.107696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33833864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216964721679688 × 2 - 1) × π
    0.566070556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77836310210484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33833864} λ = -0.33833864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77836310210484))-π/2
    2×atan(5.92015778909964)-π/2
    2×1.40346144965551-π/2
    2.80692289931102-1.57079632675     		φ = 1.23612657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33833864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.385376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23612657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.824835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29239 KachelY 14219 -0.33833864 1.23612657 -19.385376 70.824835
    Oben rechts KachelX + 1 29240 KachelY 14219 -0.33824276 1.23612657 -19.379883 70.824835
    Unten links KachelX 29239 KachelY + 1 14220 -0.33833864 1.23609508 -19.385376 70.823031
    Unten rechts KachelX + 1 29240 KachelY + 1 14220 -0.33824276 1.23609508 -19.379883 70.823031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23612657-1.23609508) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23612657-1.23609508) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33833864--0.33824276) × cos(1.23612657) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.328457266864109 × 6371000     		do = 200.638607580797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33833864--0.33824276) × cos(1.23609508) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.328487009599269 × 6371000     		du = 200.656775974588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23612657)-sin(1.23609508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328457266864109-0.328487009599269)×R²
    abs(-0.33824276--0.33833864)×2.97427351597102e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.97427351597102e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.97427351597102e-05×40589641000000     		ar = 40254.4997347205m²