Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29238 / 14835
↖ ↑ ↗
← N 69.681897°
W 19.390869°		 ← 212.09 m → N 69.681897°
W 19.385376°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
N 69.679990°
W 19.390869°		 ← 212.10 m →
44 983 m²		 N 69.679990°
W 19.385376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446144104003906 y=0.226371765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446144104003906 × 216)
    floor (0.446144104003906 × 65536)
    floor (29238.5)     		tx = 29238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226371765136719 × 216)
    floor (0.226371765136719 × 65536)
    floor (14835.5)     		ty = 14835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29238 / 14835 ti = "16/29238/14835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29238/14835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29238 ÷ 216
    29238 ÷ 65536     		x = 0.446136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14835 ÷ 216
    14835 ÷ 65536     		y = 0.226364135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.10772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33843451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226364135742188 × 2 - 1) × π
    0.547271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71930484177293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33843451} λ = -0.33843451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71930484177293))-π/2
    2×atan(5.58064768240483)-π/2
    2×1.39348742920572-π/2
    2.78697485841145-1.57079632675     		φ = 1.21617853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33843451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.390869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21617853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.681897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29238 KachelY 14835 -0.33843451 1.21617853 -19.390869 69.681897
    Oben rechts KachelX + 1 29239 KachelY 14835 -0.33833864 1.21617853 -19.385376 69.681897
    Unten links KachelX 29238 KachelY + 1 14836 -0.33843451 1.21614524 -19.390869 69.679990
    Unten rechts KachelX + 1 29239 KachelY + 1 14836 -0.33833864 1.21614524 -19.385376 69.679990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21617853-1.21614524) × R
    3.32900000001857e-05 × 6371000     		dl = 212.090590001183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21617853-1.21614524) × R
    3.32900000001857e-05 × 6371000     		dr = 212.090590001183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33843451--0.33833864) × cos(1.21617853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347231968363352 × 6371000     		do = 212.085039629358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33843451--0.33833864) × cos(1.21614524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347263186842855 × 6371000     		du = 212.104107494836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21617853)-sin(1.21614524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347231968363352-0.347263186842855)×R²
    abs(-0.33833864--0.33843451)×3.12184795033255e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12184795033255e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12184795033255e-05×40589641000000     		ar = 44983.2632469263m²