Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29238 / 14220
↖ ↑ ↗
← N 70.823031°
W 19.390869°		 ← 200.64 m → N 70.823031°
W 19.385376°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
N 70.821227°
W 19.390869°		 ← 200.65 m →
40 254 m²		 N 70.821227°
W 19.385376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446144104003906 y=0.216987609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446144104003906 × 216)
    floor (0.446144104003906 × 65536)
    floor (29238.5)     		tx = 29238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216987609863281 × 216)
    floor (0.216987609863281 × 65536)
    floor (14220.5)     		ty = 14220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29238 / 14220 ti = "16/29238/14220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29238/14220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29238 ÷ 216
    29238 ÷ 65536     		x = 0.446136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14220 ÷ 216
    14220 ÷ 65536     		y = 0.21697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.10772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33843451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21697998046875 × 2 - 1) × π
    0.5660400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7782672283056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33843451} λ = -0.33843451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7782672283056))-π/2
    2×atan(5.91959022828784)-π/2
    2×1.40344570371967-π/2
    2.80689140743934-1.57079632675     		φ = 1.23609508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33843451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.390869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23609508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.823031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29238 KachelY 14220 -0.33843451 1.23609508 -19.390869 70.823031
    Oben rechts KachelX + 1 29239 KachelY 14220 -0.33833864 1.23609508 -19.385376 70.823031
    Unten links KachelX 29238 KachelY + 1 14221 -0.33843451 1.23606359 -19.390869 70.821227
    Unten rechts KachelX + 1 29239 KachelY + 1 14221 -0.33833864 1.23606359 -19.385376 70.821227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23609508-1.23606359) × R
    3.14899999998008e-05 × 6371000     		dl = 200.622789998731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23609508-1.23606359) × R
    3.14899999998008e-05 × 6371000     		dr = 200.622789998731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33843451--0.33833864) × cos(1.23609508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328487009599269 × 6371000     		do = 200.635848067102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33843451--0.33833864) × cos(1.23606359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328516752008694 × 6371000     		du = 200.654014367029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23609508)-sin(1.23606359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328487009599269-0.328516752008694)×R²
    abs(-0.33833864--0.33843451)×2.97424094252152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97424094252152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97424094252152e-05×40589641000000     		ar = 40253.9459032633m²