Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29237 / 19622
↖ ↑ ↗
← N 58.338334°
W 19.396363°		 ← 320.64 m → N 58.338334°
W 19.390869°		 →
↑
320.59 m
↓
↑
320.59 m
↓
N 58.335451°
W 19.396363°		 ← 320.66 m →
102 797 m²		 N 58.335451°
W 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446128845214844 y=0.299415588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446128845214844 × 216)
    floor (0.446128845214844 × 65536)
    floor (29237.5)     		tx = 29237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299415588378906 × 216)
    floor (0.299415588378906 × 65536)
    floor (19622.5)     		ty = 19622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29237 / 19622 ti = "16/29237/19622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29237/19622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29237 ÷ 216
    29237 ÷ 65536     		x = 0.446121215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19622 ÷ 216
    19622 ÷ 65536     		y = 0.299407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446121215820312 × 2 - 1) × π
    -0.107757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33853039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299407958984375 × 2 - 1) × π
    0.40118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26035696481052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33853039} λ = -0.33853039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26035696481052))-π/2
    2×atan(3.52668016341677)-π/2
    2×1.29449617066816-π/2
    2.58899234133632-1.57079632675     		φ = 1.01819601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33853039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.396363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01819601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.338334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29237 KachelY 19622 -0.33853039 1.01819601 -19.396363 58.338334
    Oben rechts KachelX + 1 29238 KachelY 19622 -0.33843451 1.01819601 -19.390869 58.338334
    Unten links KachelX 29237 KachelY + 1 19623 -0.33853039 1.01814569 -19.396363 58.335451
    Unten rechts KachelX + 1 29238 KachelY + 1 19623 -0.33843451 1.01814569 -19.390869 58.335451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01819601-1.01814569) × R
    5.03199999999371e-05 × 6371000     		dl = 320.588719999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01819601-1.01814569) × R
    5.03199999999371e-05 × 6371000     		dr = 320.588719999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33853039--0.33843451) × cos(1.01819601) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.524902293152807 × 6371000     		do = 320.637342627761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33853039--0.33843451) × cos(1.01814569) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.524945122984681 × 6371000     		du = 320.66350529395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01819601)-sin(1.01814569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524902293152807-0.524945122984681)×R²
    abs(-0.33843451--0.33853039)×4.28298318740916e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28298318740916e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28298318740916e-05×40589641000000     		ar = 102796.909006711m²