Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29237 / 18150
↖ ↑ ↗
← N 62.334310°
W 19.396363°		 ← 283.63 m → N 62.334310°
W 19.390869°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 62.331759°
W 19.396363°		 ← 283.65 m →
80 450 m²		 N 62.331759°
W 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446128845214844 y=0.276954650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446128845214844 × 216)
    floor (0.446128845214844 × 65536)
    floor (29237.5)     		tx = 29237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276954650878906 × 216)
    floor (0.276954650878906 × 65536)
    floor (18150.5)     		ty = 18150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29237 / 18150 ti = "16/29237/18150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29237/18150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29237 ÷ 216
    29237 ÷ 65536     		x = 0.446121215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18150 ÷ 216
    18150 ÷ 65536     		y = 0.276947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446121215820312 × 2 - 1) × π
    -0.107757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33853039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276947021484375 × 2 - 1) × π
    0.44610595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40148319729196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33853039} λ = -0.33853039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40148319729196))-π/2
    2×atan(4.06121909112484)-π/2
    2×1.32936763599972-π/2
    2.65873527199945-1.57079632675     		φ = 1.08793895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33853039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.396363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08793895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.334310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29237 KachelY 18150 -0.33853039 1.08793895 -19.396363 62.334310
    Oben rechts KachelX + 1 29238 KachelY 18150 -0.33843451 1.08793895 -19.390869 62.334310
    Unten links KachelX 29237 KachelY + 1 18151 -0.33853039 1.08789443 -19.396363 62.331759
    Unten rechts KachelX + 1 29238 KachelY + 1 18151 -0.33843451 1.08789443 -19.390869 62.331759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08793895-1.08789443) × R
    4.45200000001034e-05 × 6371000     		dl = 283.636920000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08793895-1.08789443) × R
    4.45200000001034e-05 × 6371000     		dr = 283.636920000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33853039--0.33843451) × cos(1.08793895) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.464311765681848 × 6371000     		do = 283.625529248148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33853039--0.33843451) × cos(1.08789443) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.464351195331411 × 6371000     		du = 283.64961490794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08793895)-sin(1.08789443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464311765681848-0.464351195331411)×R²
    abs(-0.33843451--0.33853039)×3.94296495626612e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.94296495626612e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.94296495626612e-05×40589641000000     		ar = 80450.0873541211m²