Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29237 / 14217
↖ ↑ ↗
← N 70.828444°
W 19.396363°		 ← 200.60 m → N 70.828444°
W 19.390869°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
N 70.826640°
W 19.396363°		 ← 200.62 m →
40 247 m²		 N 70.826640°
W 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446128845214844 y=0.216941833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446128845214844 × 216)
    floor (0.446128845214844 × 65536)
    floor (29237.5)     		tx = 29237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216941833496094 × 216)
    floor (0.216941833496094 × 65536)
    floor (14217.5)     		ty = 14217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29237 / 14217 ti = "16/29237/14217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29237/14217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29237 ÷ 216
    29237 ÷ 65536     		x = 0.446121215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14217 ÷ 216
    14217 ÷ 65536     		y = 0.216934204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446121215820312 × 2 - 1) × π
    -0.107757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33853039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216934204101562 × 2 - 1) × π
    0.566131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77855484970332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33853039} λ = -0.33853039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77855484970332))-π/2
    2×atan(5.92129307397892)-π/2
    2×1.40349293724989-π/2
    2.80698587449978-1.57079632675     		φ = 1.23618955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33853039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.396363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23618955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.828444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29237 KachelY 14217 -0.33853039 1.23618955 -19.396363 70.828444
    Oben rechts KachelX + 1 29238 KachelY 14217 -0.33843451 1.23618955 -19.390869 70.828444
    Unten links KachelX 29237 KachelY + 1 14218 -0.33853039 1.23615806 -19.396363 70.826640
    Unten rechts KachelX + 1 29238 KachelY + 1 14218 -0.33843451 1.23615806 -19.390869 70.826640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23618955-1.23615806) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23618955-1.23615806) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33853039--0.33843451) × cos(1.23618955) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.328397780416705 × 6371000     		do = 200.602270196244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33853039--0.33843451) × cos(1.23615806) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.328427523803245 × 6371000     		du = 200.620438987932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23618955)-sin(1.23615806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328397780416705-0.328427523803245)×R²
    abs(-0.33843451--0.33853039)×2.97433865398822e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.97433865398822e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.97433865398822e-05×40589641000000     		ar = 40247.209667392m²