Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29236 / 14826
↖ ↑ ↗
← N 69.699056°
W 19.401856°		 ← 211.91 m → N 69.699056°
W 19.396363°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
N 69.697151°
W 19.401856°		 ← 211.93 m →
44 906 m²		 N 69.697151°
W 19.396363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446113586425781 y=0.226234436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446113586425781 × 216)
    floor (0.446113586425781 × 65536)
    floor (29236.5)     		tx = 29236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226234436035156 × 216)
    floor (0.226234436035156 × 65536)
    floor (14826.5)     		ty = 14826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29236 / 14826 ti = "16/29236/14826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29236/14826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29236 ÷ 216
    29236 ÷ 65536     		x = 0.44610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14826 ÷ 216
    14826 ÷ 65536     		y = 0.226226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.1077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33862626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226226806640625 × 2 - 1) × π
    0.54754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72016770596609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33862626} λ = -0.33862626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72016770596609))-π/2
    2×atan(5.58546510155497)-π/2
    2×1.39363717562515-π/2
    2.78727435125031-1.57079632675     		φ = 1.21647802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33862626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21647802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.699056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29236 KachelY 14826 -0.33862626 1.21647802 -19.401856 69.699056
    Oben rechts KachelX + 1 29237 KachelY 14826 -0.33853039 1.21647802 -19.396363 69.699056
    Unten links KachelX 29236 KachelY + 1 14827 -0.33862626 1.21644476 -19.401856 69.697151
    Unten rechts KachelX + 1 29237 KachelY + 1 14827 -0.33853039 1.21644476 -19.396363 69.697151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21647802-1.21644476) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dl = 211.89946000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21647802-1.21644476) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dr = 211.89946000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33862626--0.33853039) × cos(1.21647802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346951097281477 × 6371000     		do = 211.913487007602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33862626--0.33853039) × cos(1.21644476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346982291085496 × 6371000     		du = 211.932539801596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21647802)-sin(1.21644476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346951097281477-0.346982291085496)×R²
    abs(-0.33853039--0.33862626)×3.11938040189474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11938040189474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11938040189474e-05×40589641000000     		ar = 44906.3721064564m²