Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29235 / 43347
↖ ↑ ↗
← S 50.131143°
W 19.407348°		 ← 391.53 m → S 50.131143°
W 19.401856°		 →
↑
391.50 m
↓
↑
391.50 m
↓
S 50.134664°
W 19.407348°		 ← 391.51 m →
153 279 m²		 S 50.134664°
W 19.401856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446098327636719 y=0.661430358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446098327636719 × 216)
    floor (0.446098327636719 × 65536)
    floor (29235.5)     		tx = 29235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661430358886719 × 216)
    floor (0.661430358886719 × 65536)
    floor (43347.5)     		ty = 43347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29235 / 43347 ti = "16/29235/43347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29235/43347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29235 ÷ 216
    29235 ÷ 65536     		x = 0.446090698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43347 ÷ 216
    43347 ÷ 65536     		y = 0.661422729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446090698242188 × 2 - 1) × π
    -0.107818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33872213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661422729492188 × 2 - 1) × π
    -0.322845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01424892216115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33872213} λ = -0.33872213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01424892216115))-π/2
    2×atan(0.362674724510732)-π/2
    2×0.347921410486888-π/2
    0.695842820973776-1.57079632675     		φ = -0.87495351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33872213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.407348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87495351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.131143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29235 KachelY 43347 -0.33872213 -0.87495351 -19.407348 -50.131143
    Oben rechts KachelX + 1 29236 KachelY 43347 -0.33862626 -0.87495351 -19.401856 -50.131143
    Unten links KachelX 29235 KachelY + 1 43348 -0.33872213 -0.87501496 -19.407348 -50.134664
    Unten rechts KachelX + 1 29236 KachelY + 1 43348 -0.33862626 -0.87501496 -19.401856 -50.134664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87495351--0.87501496) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dl = 391.497950000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87495351--0.87501496) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dr = 391.497950000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33872213--0.33862626) × cos(-0.87495351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641032540568031 × 6371000     		do = 391.534835950974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33872213--0.33862626) × cos(-0.87501496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640985375640804 × 6371000     		du = 391.50602819025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87495351)-sin(-0.87501496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641032540568031-0.640985375640804)×R²
    abs(-0.33862626--0.33872213)×4.71649272274499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71649272274499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71649272274499e-05×40589641000000     		ar = 153279.446587008m²