Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29235 / 14827
↖ ↑ ↗
← N 69.697151°
W 19.407348°		 ← 211.93 m → N 69.697151°
W 19.401856°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
N 69.695245°
W 19.407348°		 ← 211.95 m →
44 924 m²		 N 69.695245°
W 19.401856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446098327636719 y=0.226249694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446098327636719 × 216)
    floor (0.446098327636719 × 65536)
    floor (29235.5)     		tx = 29235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226249694824219 × 216)
    floor (0.226249694824219 × 65536)
    floor (14827.5)     		ty = 14827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29235 / 14827 ti = "16/29235/14827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29235/14827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29235 ÷ 216
    29235 ÷ 65536     		x = 0.446090698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14827 ÷ 216
    14827 ÷ 65536     		y = 0.226242065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446090698242188 × 2 - 1) × π
    -0.107818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33872213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226242065429688 × 2 - 1) × π
    0.547515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72007183216685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33872213} λ = -0.33872213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72007183216685))-π/2
    2×atan(5.58492962746454)-π/2
    2×1.39362054311766-π/2
    2.78724108623532-1.57079632675     		φ = 1.21644476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33872213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.407348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21644476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.697151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29235 KachelY 14827 -0.33872213 1.21644476 -19.407348 69.697151
    Oben rechts KachelX + 1 29236 KachelY 14827 -0.33862626 1.21644476 -19.401856 69.697151
    Unten links KachelX 29235 KachelY + 1 14828 -0.33872213 1.21641149 -19.407348 69.695245
    Unten rechts KachelX + 1 29236 KachelY + 1 14828 -0.33862626 1.21641149 -19.401856 69.695245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21644476-1.21641149) × R
    3.32699999998631e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21644476-1.21641149) × R
    3.32699999998631e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33872213--0.33862626) × cos(1.21644476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346982291085496 × 6371000     		do = 211.932539801596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33872213--0.33862626) × cos(1.21641149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347013493884274 × 6371000     		du = 211.95159808948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21644476)-sin(1.21641149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346982291085496-0.347013493884274)×R²
    abs(-0.33862626--0.33872213)×3.12027987786623e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12027987786623e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12027987786623e-05×40589641000000     		ar = 44923.9127938676m²