Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29234 / 43346
↖ ↑ ↗
← S 50.127622°
W 19.412842°		 ← 391.60 m → S 50.127622°
W 19.407348°		 →
↑
391.56 m
↓
↑
391.56 m
↓
S 50.131143°
W 19.412842°		 ← 391.58 m →
153 332 m²		 S 50.131143°
W 19.407348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446083068847656 y=0.661415100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446083068847656 × 216)
    floor (0.446083068847656 × 65536)
    floor (29234.5)     		tx = 29234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661415100097656 × 216)
    floor (0.661415100097656 × 65536)
    floor (43346.5)     		ty = 43346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29234 / 43346 ti = "16/29234/43346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29234/43346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29234 ÷ 216
    29234 ÷ 65536     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43346 ÷ 216
    43346 ÷ 65536     		y = 0.661407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.32281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01415304836191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01415304836191))-π/2
    2×atan(0.362709497181327)-π/2
    2×0.347952140730193-π/2
    0.695904281460386-1.57079632675     		φ = -0.87489205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87489205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.127622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29234 KachelY 43346 -0.33881801 -0.87489205 -19.412842 -50.127622
    Oben rechts KachelX + 1 29235 KachelY 43346 -0.33872213 -0.87489205 -19.407348 -50.127622
    Unten links KachelX 29234 KachelY + 1 43347 -0.33881801 -0.87495351 -19.412842 -50.131143
    Unten rechts KachelX + 1 29235 KachelY + 1 43347 -0.33872213 -0.87495351 -19.407348 -50.131143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87489205--0.87495351) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dl = 391.56165999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87489205--0.87495351) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dr = 391.56165999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(-0.87489205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641079710749398 × 6371000     		do = 391.604490109211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(-0.87495351) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641032540568031 × 6371000     		du = 391.575676134112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87489205)-sin(-0.87495351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641079710749398-0.641032540568031)×R²
    abs(-0.33872213--0.33881801)×4.71701813660186e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71701813660186e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71701813660186e-05×40589641000000     		ar = 153331.663034854m²