Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29234 / 18149
↖ ↑ ↗
← N 62.336860°
W 19.412842°		 ← 283.60 m → N 62.336860°
W 19.407348°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 62.334310°
W 19.412842°		 ← 283.63 m →
80 425 m²		 N 62.334310°
W 19.407348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446083068847656 y=0.276939392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446083068847656 × 216)
    floor (0.446083068847656 × 65536)
    floor (29234.5)     		tx = 29234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276939392089844 × 216)
    floor (0.276939392089844 × 65536)
    floor (18149.5)     		ty = 18149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29234 / 18149 ti = "16/29234/18149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29234/18149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29234 ÷ 216
    29234 ÷ 65536     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18149 ÷ 216
    18149 ÷ 65536     		y = 0.276931762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276931762695312 × 2 - 1) × π
    0.446136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4015790710912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4015790710912))-π/2
    2×atan(4.06160847429417)-π/2
    2×1.32938989272147-π/2
    2.65877978544294-1.57079632675     		φ = 1.08798346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08798346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.336860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29234 KachelY 18149 -0.33881801 1.08798346 -19.412842 62.336860
    Oben rechts KachelX + 1 29235 KachelY 18149 -0.33872213 1.08798346 -19.407348 62.336860
    Unten links KachelX 29234 KachelY + 1 18150 -0.33881801 1.08793895 -19.412842 62.334310
    Unten rechts KachelX + 1 29235 KachelY + 1 18150 -0.33872213 1.08793895 -19.407348 62.334310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08798346-1.08793895) × R
    4.45099999999421e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08798346-1.08793895) × R
    4.45099999999421e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(1.08798346) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.464272343968931 × 6371000     		do = 283.601448436469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(1.08793895) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.464311765681848 × 6371000     		du = 283.625529248148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08798346)-sin(1.08793895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464272343968931-0.464311765681848)×R²
    abs(-0.33872213--0.33881801)×3.94217129176533e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.94217129176533e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.94217129176533e-05×40589641000000     		ar = 80425.187443429m²