Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29234 / 14833
↖ ↑ ↗
← N 69.685712°
W 19.412842°		 ← 212.07 m → N 69.685712°
W 19.407348°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
N 69.683804°
W 19.412842°		 ← 212.09 m →
44 980 m²		 N 69.683804°
W 19.407348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446083068847656 y=0.226341247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446083068847656 × 216)
    floor (0.446083068847656 × 65536)
    floor (29234.5)     		tx = 29234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226341247558594 × 216)
    floor (0.226341247558594 × 65536)
    floor (14833.5)     		ty = 14833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29234 / 14833 ti = "16/29234/14833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29234/14833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29234 ÷ 216
    29234 ÷ 65536     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14833 ÷ 216
    14833 ÷ 65536     		y = 0.226333618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226333618164062 × 2 - 1) × π
    0.547332763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71949658937141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71949658937141))-π/2
    2×atan(5.58171786079469)-π/2
    2×1.39352071666067-π/2
    2.78704143332133-1.57079632675     		φ = 1.21624511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21624511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.685712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29234 KachelY 14833 -0.33881801 1.21624511 -19.412842 69.685712
    Oben rechts KachelX + 1 29235 KachelY 14833 -0.33872213 1.21624511 -19.407348 69.685712
    Unten links KachelX 29234 KachelY + 1 14834 -0.33881801 1.21621182 -19.412842 69.683804
    Unten rechts KachelX + 1 29235 KachelY + 1 14834 -0.33872213 1.21621182 -19.407348 69.683804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21624511-1.21621182) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dl = 212.090589999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21624511-1.21621182) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dr = 212.090589999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(1.21624511) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.347169530249948 × 6371000     		do = 212.069021364069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(1.21621182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.347200749499038 × 6371000     		du = 212.08809168858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21624511)-sin(1.21621182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347169530249948-0.347200749499038)×R²
    abs(-0.33872213--0.33881801)×3.12192490902197e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.12192490902197e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.12192490902197e-05×40589641000000     		ar = 44979.8661843141m²