Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29234 / 14214
↖ ↑ ↗
← N 70.833855°
W 19.412842°		 ← 200.55 m → N 70.833855°
W 19.407348°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 70.832051°
W 19.412842°		 ← 200.57 m →
40 223 m²		 N 70.832051°
W 19.407348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446083068847656 y=0.216896057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446083068847656 × 216)
    floor (0.446083068847656 × 65536)
    floor (29234.5)     		tx = 29234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216896057128906 × 216)
    floor (0.216896057128906 × 65536)
    floor (14214.5)     		ty = 14214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29234 / 14214 ti = "16/29234/14214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29234/14214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29234 ÷ 216
    29234 ÷ 65536     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14214 ÷ 216
    14214 ÷ 65536     		y = 0.216888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216888427734375 × 2 - 1) × π
    0.56622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77884247110104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77884247110104))-π/2
    2×atan(5.9229964095153)-π/2
    2×1.40354015794993-π/2
    2.80708031589986-1.57079632675     		φ = 1.23628399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23628399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.833855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29234 KachelY 14214 -0.33881801 1.23628399 -19.412842 70.833855
    Oben rechts KachelX + 1 29235 KachelY 14214 -0.33872213 1.23628399 -19.407348 70.833855
    Unten links KachelX 29234 KachelY + 1 14215 -0.33881801 1.23625251 -19.412842 70.832051
    Unten rechts KachelX + 1 29235 KachelY + 1 14215 -0.33872213 1.23625251 -19.407348 70.832051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23628399-1.23625251) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23628399-1.23625251) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(1.23628399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.328308576640444 × 6371000     		do = 200.547779937493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(1.23625251) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.328338311557921 × 6371000     		du = 200.565943555842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23628399)-sin(1.23625251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328308576640444-0.328338311557921)×R²
    abs(-0.33872213--0.33881801)×2.97349174769312e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.97349174769312e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.97349174769312e-05×40589641000000     		ar = 40223.4996830508m²