Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29233 / 18065
↖ ↑ ↗
← N 62.550325°
W 19.418335°		 ← 281.55 m → N 62.550325°
W 19.412842°		 →
↑
281.60 m
↓
↑
281.60 m
↓
N 62.547793°
W 19.418335°		 ← 281.58 m →
79 289 m²		 N 62.547793°
W 19.412842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446067810058594 y=0.275657653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446067810058594 × 216)
    floor (0.446067810058594 × 65536)
    floor (29233.5)     		tx = 29233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275657653808594 × 216)
    floor (0.275657653808594 × 65536)
    floor (18065.5)     		ty = 18065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29233 / 18065 ti = "16/29233/18065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29233/18065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29233 ÷ 216
    29233 ÷ 65536     		x = 0.446060180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18065 ÷ 216
    18065 ÷ 65536     		y = 0.275650024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446060180664062 × 2 - 1) × π
    -0.107879638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33891388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275650024414062 × 2 - 1) × π
    0.448699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40963247022737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33891388} λ = -0.33891388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40963247022737))-π/2
    2×atan(4.09445029511594)-π/2
    2×1.33125272211513-π/2
    2.66250544423027-1.57079632675     		φ = 1.09170912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33891388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.418335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09170912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.550325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29233 KachelY 18065 -0.33891388 1.09170912 -19.418335 62.550325
    Oben rechts KachelX + 1 29234 KachelY 18065 -0.33881801 1.09170912 -19.412842 62.550325
    Unten links KachelX 29233 KachelY + 1 18066 -0.33891388 1.09166492 -19.418335 62.547793
    Unten rechts KachelX + 1 29234 KachelY + 1 18066 -0.33881801 1.09166492 -19.412842 62.547793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09170912-1.09166492) × R
    4.42000000000498e-05 × 6371000     		dl = 281.598200000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09170912-1.09166492) × R
    4.42000000000498e-05 × 6371000     		dr = 281.598200000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33891388--0.33881801) × cos(1.09170912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460969340340226 × 6371000     		do = 281.554435424772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33891388--0.33881801) × cos(1.09166492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461008563679874 × 6371000     		du = 281.578392560927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09170912)-sin(1.09166492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460969340340226-0.461008563679874)×R²
    abs(-0.33881801--0.33891388)×3.92233396478425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92233396478425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92233396478425e-05×40589641000000     		ar = 79288.5953740167m²