Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29232 / 19621
↖ ↑ ↗
← N 58.341218°
W 19.423828°		 ← 320.58 m → N 58.341218°
W 19.418335°		 →
↑
320.65 m
↓
↑
320.65 m
↓
N 58.338334°
W 19.423828°		 ← 320.60 m →
102 798 m²		 N 58.338334°
W 19.418335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446052551269531 y=0.299400329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446052551269531 × 216)
    floor (0.446052551269531 × 65536)
    floor (29232.5)     		tx = 29232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299400329589844 × 216)
    floor (0.299400329589844 × 65536)
    floor (19621.5)     		ty = 19621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29232 / 19621 ti = "16/29232/19621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29232/19621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29232 ÷ 216
    29232 ÷ 65536     		x = 0.446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19621 ÷ 216
    19621 ÷ 65536     		y = 0.299392700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299392700195312 × 2 - 1) × π
    0.401214599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26045283860976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33900975} λ = -0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26045283860976))-π/2
    2×atan(3.52701829585151)-π/2
    2×1.29452133182986-π/2
    2.58904266365972-1.57079632675     		φ = 1.01824634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01824634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.341218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29232 KachelY 19621 -0.33900975 1.01824634 -19.423828 58.341218
    Oben rechts KachelX + 1 29233 KachelY 19621 -0.33891388 1.01824634 -19.418335 58.341218
    Unten links KachelX 29232 KachelY + 1 19622 -0.33900975 1.01819601 -19.423828 58.338334
    Unten rechts KachelX + 1 29233 KachelY + 1 19622 -0.33891388 1.01819601 -19.418335 58.338334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01824634-1.01819601) × R
    5.03299999998763e-05 × 6371000     		dl = 320.652429999212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01824634-1.01819601) × R
    5.03299999998763e-05 × 6371000     		dr = 320.652429999212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33900975--0.33891388) × cos(1.01824634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524859453479937 × 6371000     		do = 320.577735154423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33900975--0.33891388) × cos(1.01819601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524902293152807 × 6371000     		du = 320.603901102682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01824634)-sin(1.01819601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524859453479937-0.524902293152807)×R²
    abs(-0.33891388--0.33900975)×4.28396728694436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28396728694436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28396728694436e-05×40589641000000     		ar = 102798.224889877m²