Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29229 / 43108
↖ ↑ ↗
← S 49.282140°
W 19.440308°		 ← 398.48 m → S 49.282140°
W 19.434814°		 →
↑
398.44 m
↓
↑
398.44 m
↓
S 49.285724°
W 19.440308°		 ← 398.45 m →
158 765 m²		 S 49.285724°
W 19.434814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446006774902344 y=0.657783508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446006774902344 × 216)
    floor (0.446006774902344 × 65536)
    floor (29229.5)     		tx = 29229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657783508300781 × 216)
    floor (0.657783508300781 × 65536)
    floor (43108.5)     		ty = 43108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29229 / 43108 ti = "16/29229/43108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29229/43108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29229 ÷ 216
    29229 ÷ 65536     		x = 0.445999145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43108 ÷ 216
    43108 ÷ 65536     		y = 0.65777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445999145507812 × 2 - 1) × π
    -0.108001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33929738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.3155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991335084142761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33929738} λ = -0.33929738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991335084142761))-π/2
    2×atan(0.371080935885092)-π/2
    2×0.355330359298122-π/2
    0.710660718596245-1.57079632675     		φ = -0.86013561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33929738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.440308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86013561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.282140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29229 KachelY 43108 -0.33929738 -0.86013561 -19.440308 -49.282140
    Oben rechts KachelX + 1 29230 KachelY 43108 -0.33920150 -0.86013561 -19.434814 -49.282140
    Unten links KachelX 29229 KachelY + 1 43109 -0.33929738 -0.86019815 -19.440308 -49.285724
    Unten rechts KachelX + 1 29230 KachelY + 1 43109 -0.33920150 -0.86019815 -19.434814 -49.285724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86013561--0.86019815) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dl = 398.442339999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86013561--0.86019815) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dr = 398.442339999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33929738--0.33920150) × cos(-0.86013561) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652334691135227 × 6371000     		do = 398.479611535265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33929738--0.33920150) × cos(-0.86019815) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652287288852733 × 6371000     		du = 398.450655780849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86013561)-sin(-0.86019815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652334691135227-0.652287288852733)×R²
    abs(-0.33920150--0.33929738)×4.74022824936693e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74022824936693e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74022824936693e-05×40589641000000     		ar = 158765.380314615m²