Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29229 / 43107
↖ ↑ ↗
← S 49.278556°
W 19.440308°		 ← 398.51 m → S 49.278556°
W 19.434814°		 →
↑
398.51 m
↓
↑
398.51 m
↓
S 49.282140°
W 19.440308°		 ← 398.48 m →
158 802 m²		 S 49.282140°
W 19.434814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446006774902344 y=0.657768249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446006774902344 × 216)
    floor (0.446006774902344 × 65536)
    floor (29229.5)     		tx = 29229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657768249511719 × 216)
    floor (0.657768249511719 × 65536)
    floor (43107.5)     		ty = 43107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29229 / 43107 ti = "16/29229/43107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29229/43107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29229 ÷ 216
    29229 ÷ 65536     		x = 0.445999145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43107 ÷ 216
    43107 ÷ 65536     		y = 0.657760620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445999145507812 × 2 - 1) × π
    -0.108001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33929738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657760620117188 × 2 - 1) × π
    -0.315521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.991239210343521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33929738} λ = -0.33929738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991239210343521))-π/2
    2×atan(0.371116514529743)-π/2
    2×0.355361631336964-π/2
    0.710723262673928-1.57079632675     		φ = -0.86007306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33929738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.440308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86007306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.278556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29229 KachelY 43107 -0.33929738 -0.86007306 -19.440308 -49.278556
    Oben rechts KachelX + 1 29230 KachelY 43107 -0.33920150 -0.86007306 -19.434814 -49.278556
    Unten links KachelX 29229 KachelY + 1 43108 -0.33929738 -0.86013561 -19.440308 -49.282140
    Unten rechts KachelX + 1 29230 KachelY + 1 43108 -0.33920150 -0.86013561 -19.434814 -49.282140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86007306--0.86013561) × R
    6.25500000001056e-05 × 6371000     		dl = 398.506050000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86007306--0.86013561) × R
    6.25500000001056e-05 × 6371000     		dr = 398.506050000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33929738--0.33920150) × cos(-0.86007306) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		do = 398.508570360712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33929738--0.33920150) × cos(-0.86013561) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652334691135227 × 6371000     		du = 398.479611535265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86007306)-sin(-0.86013561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652382098445178-0.652334691135227)×R²
    abs(-0.33920150--0.33929738)×4.74073099510086e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74073099510086e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74073099510086e-05×40589641000000     		ar = 158802.306184082m²