Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29228 / 17963
↖ ↑ ↗
← N 62.807489°
W 19.445801°		 ← 279.12 m → N 62.807489°
W 19.440308°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
N 62.804978°
W 19.445801°		 ← 279.14 m →
77 927 m²		 N 62.804978°
W 19.440308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445991516113281 y=0.274101257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445991516113281 × 216)
    floor (0.445991516113281 × 65536)
    floor (29228.5)     		tx = 29228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274101257324219 × 216)
    floor (0.274101257324219 × 65536)
    floor (17963.5)     		ty = 17963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29228 / 17963 ti = "16/29228/17963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29228/17963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29228 ÷ 216
    29228 ÷ 65536     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17963 ÷ 216
    17963 ÷ 65536     		y = 0.274093627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274093627929688 × 2 - 1) × π
    0.451812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41941159774986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41941159774986))-π/2
    2×atan(4.13468686530596)-π/2
    2×1.33349690177025-π/2
    2.6669938035405-1.57079632675     		φ = 1.09619748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09619748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.807489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29228 KachelY 17963 -0.33939325 1.09619748 -19.445801 62.807489
    Oben rechts KachelX + 1 29229 KachelY 17963 -0.33929738 1.09619748 -19.440308 62.807489
    Unten links KachelX 29228 KachelY + 1 17964 -0.33939325 1.09615366 -19.445801 62.804978
    Unten rechts KachelX + 1 29229 KachelY + 1 17964 -0.33929738 1.09615366 -19.440308 62.804978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09619748-1.09615366) × R
    4.38200000001387e-05 × 6371000     		dl = 279.177220000884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09619748-1.09615366) × R
    4.38200000001387e-05 × 6371000     		dr = 279.177220000884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33929738) × cos(1.09619748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456981667764628 × 6371000     		do = 279.118813784832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33929738) × cos(1.09615366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457020644169134 × 6371000     		du = 279.142620096023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09619748)-sin(1.09615366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456981667764628-0.457020644169134)×R²
    abs(-0.33929738--0.33939325)×3.89764045062857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89764045062857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89764045062857e-05×40589641000000     		ar = 77926.9375847672m²