Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29228 / 14204
↖ ↑ ↗
← N 70.851881°
W 19.445801°		 ← 200.35 m → N 70.851881°
W 19.440308°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
N 70.850079°
W 19.445801°		 ← 200.36 m →
40 145 m²		 N 70.850079°
W 19.440308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445991516113281 y=0.216743469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445991516113281 × 216)
    floor (0.445991516113281 × 65536)
    floor (29228.5)     		tx = 29228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216743469238281 × 216)
    floor (0.216743469238281 × 65536)
    floor (14204.5)     		ty = 14204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29228 / 14204 ti = "16/29228/14204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29228/14204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29228 ÷ 216
    29228 ÷ 65536     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14204 ÷ 216
    14204 ÷ 65536     		y = 0.21673583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21673583984375 × 2 - 1) × π
    0.5665283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77980120909344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77980120909344))-π/2
    2×atan(5.9286777342177)-π/2
    2×1.40369746766032-π/2
    2.80739493532064-1.57079632675     		φ = 1.23659861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23659861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.851881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29228 KachelY 14204 -0.33939325 1.23659861 -19.445801 70.851881
    Oben rechts KachelX + 1 29229 KachelY 14204 -0.33929738 1.23659861 -19.440308 70.851881
    Unten links KachelX 29228 KachelY + 1 14205 -0.33939325 1.23656716 -19.445801 70.850079
    Unten rechts KachelX + 1 29229 KachelY + 1 14205 -0.33929738 1.23656716 -19.440308 70.850079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23659861-1.23656716) × R
    3.14499999998219e-05 × 6371000     		dl = 200.367949998865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23659861-1.23656716) × R
    3.14499999998219e-05 × 6371000     		dr = 200.367949998865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33929738) × cos(1.23659861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328011379617537 × 6371000     		do = 200.345339091214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33929738) × cos(1.23656716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328041089445431 × 6371000     		du = 200.363485490741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23659861)-sin(1.23656716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328011379617537-0.328041089445431)×R²
    abs(-0.33929738--0.33939325)×2.97098278948527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97098278948527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97098278948527e-05×40589641000000     		ar = 40144.6028675353m²