Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29226 / 14789
↖ ↑ ↗
← N 69.769456°
W 19.456787°		 ← 211.23 m → N 69.769456°
W 19.451294°		 →
↑
211.26 m
↓
↑
211.26 m
↓
N 69.767556°
W 19.456787°		 ← 211.25 m →
44 627 m²		 N 69.767556°
W 19.451294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445960998535156 y=0.225669860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445960998535156 × 216)
    floor (0.445960998535156 × 65536)
    floor (29226.5)     		tx = 29226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225669860839844 × 216)
    floor (0.225669860839844 × 65536)
    floor (14789.5)     		ty = 14789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29226 / 14789 ti = "16/29226/14789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29226/14789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29226 ÷ 216
    29226 ÷ 65536     		x = 0.445953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14789 ÷ 216
    14789 ÷ 65536     		y = 0.225662231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.10809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33958500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225662231445312 × 2 - 1) × π
    0.548675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72371503653798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33958500} λ = -0.33958500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72371503653798))-π/2
    2×atan(5.60531377676019)-π/2
    2×1.3942515280436-π/2
    2.78850305608719-1.57079632675     		φ = 1.21770673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33958500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.456787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21770673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.769456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29226 KachelY 14789 -0.33958500 1.21770673 -19.456787 69.769456
    Oben rechts KachelX + 1 29227 KachelY 14789 -0.33948912 1.21770673 -19.451294 69.769456
    Unten links KachelX 29226 KachelY + 1 14790 -0.33958500 1.21767357 -19.456787 69.767556
    Unten rechts KachelX + 1 29227 KachelY + 1 14790 -0.33948912 1.21767357 -19.451294 69.767556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21770673-1.21767357) × R
    3.31599999998655e-05 × 6371000     		dl = 211.262359999143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21770673-1.21767357) × R
    3.31599999998655e-05 × 6371000     		dr = 211.262359999143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33958500--0.33948912) × cos(1.21770673) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.345798449178151 × 6371000     		do = 211.231494462285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33958500--0.33948912) × cos(1.21767357) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.345829563308338 × 6371000     		du = 211.250500574758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21770673)-sin(1.21767357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345798449178151-0.345829563308338)×R²
    abs(-0.33948912--0.33958500)×3.11141301863049e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.11141301863049e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.11141301863049e-05×40589641000000     		ar = 44627.2716684816m²