Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29223 / 22011
↖ ↑ ↗
← N 75.848526°
W 99.736634°		 ← 74.67 m → N 75.848526°
W 99.733887°		 →
↑
74.67 m
↓
↑
74.67 m
↓
N 75.847855°
W 99.736634°		 ← 74.68 m →
5 576 m²		 N 75.847855°
W 99.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222957611083984 y=0.167934417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222957611083984 × 217)
    floor (0.222957611083984 × 131072)
    floor (29223.5)     		tx = 29223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167934417724609 × 217)
    floor (0.167934417724609 × 131072)
    floor (22011.5)     		ty = 22011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29223 / 22011 ti = "17/29223/22011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29223/22011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29223 ÷ 217
    29223 ÷ 131072     		x = 0.222953796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22011 ÷ 217
    22011 ÷ 131072     		y = 0.167930603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222953796386719 × 2 - 1) × π
    -0.554092407226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.74073264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167930603027344 × 2 - 1) × π
    0.664138793945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.08645355596294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74073264} λ = -1.74073264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08645355596294))-π/2
    2×atan(8.05629324814124)-π/2
    2×1.44730142295374-π/2
    2.89460284590747-1.57079632675     		φ = 1.32380652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74073264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.736634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32380652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.848526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29223 KachelY 22011 -1.74073264 1.32380652 -99.736634 75.848526
    Oben rechts KachelX + 1 29224 KachelY 22011 -1.74068470 1.32380652 -99.733887 75.848526
    Unten links KachelX 29223 KachelY + 1 22012 -1.74073264 1.32379480 -99.736634 75.847855
    Unten rechts KachelX + 1 29224 KachelY + 1 22012 -1.74068470 1.32379480 -99.733887 75.847855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32380652-1.32379480) × R
    1.17200000000484e-05 × 6371000     		dl = 74.6681200003081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32380652-1.32379480) × R
    1.17200000000484e-05 × 6371000     		dr = 74.6681200003081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74073264--1.74068470) × cos(1.32380652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244486229175707 × 6371000     		do = 74.6723874657509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74073264--1.74068470) × cos(1.32379480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244497593489316 × 6371000     		du = 74.6758584196445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32380652)-sin(1.32379480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244486229175707-0.244497593489316)×R²
    abs(-1.74068470--1.74073264)×1.1364313608847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1364313608847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1364313608847e-05×40589641000000     		ar = 5575.77637293126m²