Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29223 / 14809
↖ ↑ ↗
← N 69.731431°
W 19.473267°		 ← 211.61 m → N 69.731431°
W 19.467773°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
N 69.729529°
W 19.473267°		 ← 211.63 m →
44 775 m²		 N 69.729529°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445915222167969 y=0.225975036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445915222167969 × 216)
    floor (0.445915222167969 × 65536)
    floor (29223.5)     		tx = 29223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225975036621094 × 216)
    floor (0.225975036621094 × 65536)
    floor (14809.5)     		ty = 14809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29223 / 14809 ti = "16/29223/14809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29223/14809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29223 ÷ 216
    29223 ÷ 65536     		x = 0.445907592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14809 ÷ 216
    14809 ÷ 65536     		y = 0.225967407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445907592773438 × 2 - 1) × π
    -0.108184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33987262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225967407226562 × 2 - 1) × π
    0.548065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72179756055318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33987262} λ = -0.33987262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72179756055318))-π/2
    2×atan(5.59457602019112)-π/2
    2×1.39391969953548-π/2
    2.78783939907097-1.57079632675     		φ = 1.21704307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33987262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.473267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21704307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.731431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29223 KachelY 14809 -0.33987262 1.21704307 -19.473267 69.731431
    Oben rechts KachelX + 1 29224 KachelY 14809 -0.33977674 1.21704307 -19.467773 69.731431
    Unten links KachelX 29223 KachelY + 1 14810 -0.33987262 1.21700986 -19.473267 69.729529
    Unten rechts KachelX + 1 29224 KachelY + 1 14810 -0.33977674 1.21700986 -19.467773 69.729529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21704307-1.21700986) × R
    3.32099999997837e-05 × 6371000     		dl = 211.580909998622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21704307-1.21700986) × R
    3.32099999997837e-05 × 6371000     		dr = 211.580909998622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33987262--0.33977674) × cos(1.21704307) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.346421091008161 × 6371000     		do = 211.611836145533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33987262--0.33977674) × cos(1.21700986) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.346452244424559 × 6371000     		du = 211.630866256048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21704307)-sin(1.21700986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346421091008161-0.346452244424559)×R²
    abs(-0.33977674--0.33987262)×3.11534163988103e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.11534163988103e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.11534163988103e-05×40589641000000     		ar = 44775.038066421m²