Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29222 / 19358
↖ ↑ ↗
← N 59.091382°
W 19.478760°		 ← 313.74 m → N 59.091382°
W 19.473267°		 →
↑
313.77 m
↓
↑
313.77 m
↓
N 59.088560°
W 19.478760°		 ← 313.77 m →
98 448 m²		 N 59.088560°
W 19.473267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445899963378906 y=0.295387268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445899963378906 × 216)
    floor (0.445899963378906 × 65536)
    floor (29222.5)     		tx = 29222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295387268066406 × 216)
    floor (0.295387268066406 × 65536)
    floor (19358.5)     		ty = 19358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29222 / 19358 ti = "16/29222/19358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29222/19358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29222 ÷ 216
    29222 ÷ 65536     		x = 0.445892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19358 ÷ 216
    19358 ÷ 65536     		y = 0.295379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.10821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33996849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295379638671875 × 2 - 1) × π
    0.40924072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28566764780991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33996849} λ = -0.33996849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28566764780991))-π/2
    2×atan(3.61708208816757)-π/2
    2×1.30106775447078-π/2
    2.60213550894156-1.57079632675     		φ = 1.03133918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33996849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03133918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.091382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29222 KachelY 19358 -0.33996849 1.03133918 -19.478760 59.091382
    Oben rechts KachelX + 1 29223 KachelY 19358 -0.33987262 1.03133918 -19.473267 59.091382
    Unten links KachelX 29222 KachelY + 1 19359 -0.33996849 1.03128993 -19.478760 59.088560
    Unten rechts KachelX + 1 29223 KachelY + 1 19359 -0.33987262 1.03128993 -19.473267 59.088560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03133918-1.03128993) × R
    4.92500000000007e-05 × 6371000     		dl = 313.771750000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03133918-1.03128993) × R
    4.92500000000007e-05 × 6371000     		dr = 313.771750000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33996849--0.33987262) × cos(1.03133918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513670306013995 × 6371000     		do = 313.743540725498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33996849--0.33987262) × cos(1.03128993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513712561283033 × 6371000     		du = 313.769349727045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03133918)-sin(1.03128993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513670306013995-0.513712561283033)×R²
    abs(-0.33987262--0.33996849)×4.22552690387823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22552690387823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22552690387823e-05×40589641000000     		ar = 98447.9089124975m²