Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29221 / 18122
↖ ↑ ↗
← N 62.405640°
W 19.484253°		 ← 282.95 m → N 62.405640°
W 19.478760°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 62.403096°
W 19.484253°		 ← 282.98 m →
80 061 m²		 N 62.403096°
W 19.478760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445884704589844 y=0.276527404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445884704589844 × 216)
    floor (0.445884704589844 × 65536)
    floor (29221.5)     		tx = 29221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276527404785156 × 216)
    floor (0.276527404785156 × 65536)
    floor (18122.5)     		ty = 18122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29221 / 18122 ti = "16/29221/18122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29221/18122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29221 ÷ 216
    29221 ÷ 65536     		x = 0.445877075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18122 ÷ 216
    18122 ÷ 65536     		y = 0.276519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445877075195312 × 2 - 1) × π
    -0.108245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34006437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276519775390625 × 2 - 1) × π
    0.44696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40416766367068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34006437} λ = -0.34006437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40416766367068))-π/2
    2×atan(4.07213594363746)-π/2
    2×1.32999011022948-π/2
    2.65998022045897-1.57079632675     		φ = 1.08918389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34006437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.484253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08918389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.405640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29221 KachelY 18122 -0.34006437 1.08918389 -19.484253 62.405640
    Oben rechts KachelX + 1 29222 KachelY 18122 -0.33996849 1.08918389 -19.478760 62.405640
    Unten links KachelX 29221 KachelY + 1 18123 -0.34006437 1.08913948 -19.484253 62.403096
    Unten rechts KachelX + 1 29222 KachelY + 1 18123 -0.33996849 1.08913948 -19.478760 62.403096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08918389-1.08913948) × R
    4.44099999998837e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08918389-1.08913948) × R
    4.44099999998837e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34006437--0.33996849) × cos(1.08918389) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.463208797870295 × 6371000     		do = 282.951779728069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34006437--0.33996849) × cos(1.08913948) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.463248155739597 × 6371000     		du = 282.975821540782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08918389)-sin(1.08913948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463208797870295-0.463248155739597)×R²
    abs(-0.33996849--0.34006437)×3.9357869302592e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.9357869302592e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.9357869302592e-05×40589641000000     		ar = 80060.6770350083m²