Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29221 / 17955
↖ ↑ ↗
← N 62.827564°
W 19.484253°		 ← 278.96 m → N 62.827564°
W 19.478760°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 62.825055°
W 19.484253°		 ← 278.98 m →
77 829 m²		 N 62.825055°
W 19.478760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445884704589844 y=0.273979187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445884704589844 × 216)
    floor (0.445884704589844 × 65536)
    floor (29221.5)     		tx = 29221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273979187011719 × 216)
    floor (0.273979187011719 × 65536)
    floor (17955.5)     		ty = 17955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29221 / 17955 ti = "16/29221/17955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29221/17955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29221 ÷ 216
    29221 ÷ 65536     		x = 0.445877075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17955 ÷ 216
    17955 ÷ 65536     		y = 0.273971557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445877075195312 × 2 - 1) × π
    -0.108245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34006437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273971557617188 × 2 - 1) × π
    0.452056884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42017858814378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34006437} λ = -0.34006437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42017858814378))-π/2
    2×atan(4.13785934688944)-π/2
    2×1.33367209227646-π/2
    2.66734418455293-1.57079632675     		φ = 1.09654786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34006437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.484253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09654786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.827564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29221 KachelY 17955 -0.34006437 1.09654786 -19.484253 62.827564
    Oben rechts KachelX + 1 29222 KachelY 17955 -0.33996849 1.09654786 -19.478760 62.827564
    Unten links KachelX 29221 KachelY + 1 17956 -0.34006437 1.09650407 -19.484253 62.825055
    Unten rechts KachelX + 1 29222 KachelY + 1 17956 -0.33996849 1.09650407 -19.478760 62.825055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09654786-1.09650407) × R
    4.3790000000099e-05 × 6371000     		dl = 278.986090000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09654786-1.09650407) × R
    4.3790000000099e-05 × 6371000     		dr = 278.986090000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34006437--0.33996849) × cos(1.09654786) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.456669985079647 × 6371000     		do = 278.957536257459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34006437--0.33996849) × cos(1.09650407) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.456708941809912 × 6371000     		du = 278.981333033797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09654786)-sin(1.09650407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456669985079647-0.456708941809912)×R²
    abs(-0.33996849--0.34006437)×3.89567302650495e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.89567302650495e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.89567302650495e-05×40589641000000     		ar = 77828.5918139274m²