Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29220 / 18123
↖ ↑ ↗
← N 62.403096°
W 19.489746°		 ← 282.95 m → N 62.403096°
W 19.484253°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 62.400551°
W 19.489746°		 ← 282.97 m →
80 059 m²		 N 62.400551°
W 19.484253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445869445800781 y=0.276542663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445869445800781 × 216)
    floor (0.445869445800781 × 65536)
    floor (29220.5)     		tx = 29220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276542663574219 × 216)
    floor (0.276542663574219 × 65536)
    floor (18123.5)     		ty = 18123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29220 / 18123 ti = "16/29220/18123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29220/18123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29220 ÷ 216
    29220 ÷ 65536     		x = 0.44586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18123 ÷ 216
    18123 ÷ 65536     		y = 0.276535034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276535034179688 × 2 - 1) × π
    0.446929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40407178987144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34016024} λ = -0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40407178987144))-π/2
    2×atan(4.07174555120802)-π/2
    2×1.32996790449262-π/2
    2.65993580898525-1.57079632675     		φ = 1.08913948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08913948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.403096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29220 KachelY 18123 -0.34016024 1.08913948 -19.489746 62.403096
    Oben rechts KachelX + 1 29221 KachelY 18123 -0.34006437 1.08913948 -19.484253 62.403096
    Unten links KachelX 29220 KachelY + 1 18124 -0.34016024 1.08909507 -19.489746 62.400551
    Unten rechts KachelX + 1 29221 KachelY + 1 18124 -0.34006437 1.08909507 -19.484253 62.400551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08913948-1.08909507) × R
    4.44100000001058e-05 × 6371000     		dl = 282.936110000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08913948-1.08909507) × R
    4.44100000001058e-05 × 6371000     		dr = 282.936110000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34016024--0.34006437) × cos(1.08913948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.463248155739597 × 6371000     		do = 282.946308000795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34016024--0.34006437) × cos(1.08909507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46328751269526 × 6371000     		du = 282.970346747978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08913948)-sin(1.08909507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463248155739597-0.46328751269526)×R²
    abs(-0.34006437--0.34016024)×3.9356955662484e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9356955662484e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9356955662484e-05×40589641000000     		ar = 80059.128452749m²