Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29219 / 17945
↖ ↑ ↗
← N 62.852639°
W 19.495239°		 ← 278.69 m → N 62.852639°
W 19.489746°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
N 62.850133°
W 19.495239°		 ← 278.71 m →
77 683 m²		 N 62.850133°
W 19.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445854187011719 y=0.273826599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445854187011719 × 216)
    floor (0.445854187011719 × 65536)
    floor (29219.5)     		tx = 29219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273826599121094 × 216)
    floor (0.273826599121094 × 65536)
    floor (17945.5)     		ty = 17945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29219 / 17945 ti = "16/29219/17945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29219/17945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29219 ÷ 216
    29219 ÷ 65536     		x = 0.445846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17945 ÷ 216
    17945 ÷ 65536     		y = 0.273818969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445846557617188 × 2 - 1) × π
    -0.108306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34025611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273818969726562 × 2 - 1) × π
    0.452362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42113732613618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34025611} λ = -0.34025611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42113732613618))-π/2
    2×atan(4.14182837217617)-π/2
    2×1.33389091237062-π/2
    2.66778182474123-1.57079632675     		φ = 1.09698550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34025611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.495239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09698550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.852639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29219 KachelY 17945 -0.34025611 1.09698550 -19.495239 62.852639
    Oben rechts KachelX + 1 29220 KachelY 17945 -0.34016024 1.09698550 -19.489746 62.852639
    Unten links KachelX 29219 KachelY + 1 17946 -0.34025611 1.09694175 -19.495239 62.850133
    Unten rechts KachelX + 1 29220 KachelY + 1 17946 -0.34016024 1.09694175 -19.489746 62.850133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09698550-1.09694175) × R
    4.3749999999898e-05 × 6371000     		dl = 278.73124999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09698550-1.09694175) × R
    4.3749999999898e-05 × 6371000     		dr = 278.73124999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34025611--0.34016024) × cos(1.09698550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456280600983517 × 6371000     		do = 278.690610768976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34025611--0.34016024) × cos(1.09694175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456319530869526 × 6371000     		du = 278.714388667238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09698550)-sin(1.09694175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456280600983517-0.456319530869526)×R²
    abs(-0.34016024--0.34025611)×3.89298860085652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89298860085652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89298860085652e-05×40589641000000     		ar = 77683.0961368075m²