Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29218 / 17946
↖ ↑ ↗
← N 62.850133°
W 19.500733°		 ← 278.74 m → N 62.850133°
W 19.495239°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
N 62.847626°
W 19.500733°		 ← 278.77 m →
77 698 m²		 N 62.847626°
W 19.495239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445838928222656 y=0.273841857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445838928222656 × 216)
    floor (0.445838928222656 × 65536)
    floor (29218.5)     		tx = 29218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273841857910156 × 216)
    floor (0.273841857910156 × 65536)
    floor (17946.5)     		ty = 17946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29218 / 17946 ti = "16/29218/17946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29218/17946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29218 ÷ 216
    29218 ÷ 65536     		x = 0.445831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17946 ÷ 216
    17946 ÷ 65536     		y = 0.273834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.10833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34035199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273834228515625 × 2 - 1) × π
    0.45233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42104145233694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34035199} λ = -0.34035199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42104145233694))-π/2
    2×atan(4.14143129838912)-π/2
    2×1.33386903876014-π/2
    2.66773807752028-1.57079632675     		φ = 1.09694175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34035199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.500733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09694175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.850133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29218 KachelY 17946 -0.34035199 1.09694175 -19.500733 62.850133
    Oben rechts KachelX + 1 29219 KachelY 17946 -0.34025611 1.09694175 -19.495239 62.850133
    Unten links KachelX 29218 KachelY + 1 17947 -0.34035199 1.09689800 -19.500733 62.847626
    Unten rechts KachelX + 1 29219 KachelY + 1 17947 -0.34025611 1.09689800 -19.495239 62.847626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09694175-1.09689800) × R
    4.37500000001201e-05 × 6371000     		dl = 278.731250000765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09694175-1.09689800) × R
    4.37500000001201e-05 × 6371000     		dr = 278.731250000765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34035199--0.34025611) × cos(1.09694175) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.456319530869526 × 6371000     		do = 278.743460784534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34035199--0.34025611) × cos(1.09689800) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.45635845988211 × 6371000     		du = 278.767240629486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09694175)-sin(1.09689800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456319530869526-0.45635845988211)×R²
    abs(-0.34025611--0.34035199)×3.89290125845654e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.89290125845654e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.89290125845654e-05×40589641000000     		ar = 77697.8273593691m²