Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29217 / 17957
↖ ↑ ↗
← N 62.822546°
W 19.506226°		 ← 278.98 m → N 62.822546°
W 19.500733°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 62.820037°
W 19.506226°		 ← 279 m →
77 834 m²		 N 62.820037°
W 19.500733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445823669433594 y=0.274009704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445823669433594 × 216)
    floor (0.445823669433594 × 65536)
    floor (29217.5)     		tx = 29217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274009704589844 × 216)
    floor (0.274009704589844 × 65536)
    floor (17957.5)     		ty = 17957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29217 / 17957 ti = "16/29217/17957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29217/17957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29217 ÷ 216
    29217 ÷ 65536     		x = 0.445816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17957 ÷ 216
    17957 ÷ 65536     		y = 0.274002075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445816040039062 × 2 - 1) × π
    -0.108367919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34044786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274002075195312 × 2 - 1) × π
    0.451995849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4199868405453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34044786} λ = -0.34044786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4199868405453))-π/2
    2×atan(4.1370659983606)-π/2
    2×1.3336283058553-π/2
    2.6672566117106-1.57079632675     		φ = 1.09646028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34044786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.506226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09646028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.822546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29217 KachelY 17957 -0.34044786 1.09646028 -19.506226 62.822546
    Oben rechts KachelX + 1 29218 KachelY 17957 -0.34035199 1.09646028 -19.500733 62.822546
    Unten links KachelX 29217 KachelY + 1 17958 -0.34044786 1.09641649 -19.506226 62.820037
    Unten rechts KachelX + 1 29218 KachelY + 1 17958 -0.34035199 1.09641649 -19.500733 62.820037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09646028-1.09641649) × R
    4.3790000000099e-05 × 6371000     		dl = 278.986090000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09646028-1.09641649) × R
    4.3790000000099e-05 × 6371000     		dr = 278.986090000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34044786--0.34035199) × cos(1.09646028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456747897664408 × 6371000     		do = 278.976029866626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34044786--0.34035199) × cos(1.09641649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456786852643061 × 6371000     		du = 278.999823091168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09646028)-sin(1.09641649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456747897664408-0.456786852643061)×R²
    abs(-0.34035199--0.34044786)×3.89549786530274e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89549786530274e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89549786530274e-05×40589641000000     		ar = 77833.7507783161m²