Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29217 / 17953
↖ ↑ ↗
← N 62.832581°
W 19.506226°		 ← 278.88 m → N 62.832581°
W 19.500733°		 →
↑
278.92 m
↓
↑
278.92 m
↓
N 62.830073°
W 19.506226°		 ← 278.90 m →
77 789 m²		 N 62.830073°
W 19.500733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445823669433594 y=0.273948669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445823669433594 × 216)
    floor (0.445823669433594 × 65536)
    floor (29217.5)     		tx = 29217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273948669433594 × 216)
    floor (0.273948669433594 × 65536)
    floor (17953.5)     		ty = 17953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29217 / 17953 ti = "16/29217/17953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29217/17953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29217 ÷ 216
    29217 ÷ 65536     		x = 0.445816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17953 ÷ 216
    17953 ÷ 65536     		y = 0.273941040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445816040039062 × 2 - 1) × π
    -0.108367919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34044786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273941040039062 × 2 - 1) × π
    0.452117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42037033574226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34044786} λ = -0.34044786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42037033574226))-π/2
    2×atan(4.13865284755555)-π/2
    2×1.33371587122893-π/2
    2.66743174245787-1.57079632675     		φ = 1.09663542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34044786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.506226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09663542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.832581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29217 KachelY 17953 -0.34044786 1.09663542 -19.506226 62.832581
    Oben rechts KachelX + 1 29218 KachelY 17953 -0.34035199 1.09663542 -19.500733 62.832581
    Unten links KachelX 29217 KachelY + 1 17954 -0.34044786 1.09659164 -19.506226 62.830073
    Unten rechts KachelX + 1 29218 KachelY + 1 17954 -0.34035199 1.09659164 -19.500733 62.830073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09663542-1.09659164) × R
    4.37799999999378e-05 × 6371000     		dl = 278.922379999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09663542-1.09659164) × R
    4.37799999999378e-05 × 6371000     		dr = 278.922379999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34044786--0.34035199) × cos(1.09663542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456592086785633 × 6371000     		do = 278.880862487437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34044786--0.34035199) × cos(1.09659164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456631036370249 × 6371000     		du = 278.904652417367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09663542)-sin(1.09659164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456592086785633-0.456631036370249)×R²
    abs(-0.34035199--0.34044786)×3.89495846165877e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89495846165877e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89495846165877e-05×40589641000000     		ar = 77789.4316855402m²