Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29215 / 19369
↖ ↑ ↗
← N 59.060330°
W 19.517212°		 ← 314.06 m → N 59.060330°
W 19.511718°		 →
↑
314.03 m
↓
↑
314.03 m
↓
N 59.057506°
W 19.517212°		 ← 314.09 m →
98 627 m²		 N 59.057506°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445793151855469 y=0.295555114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445793151855469 × 216)
    floor (0.445793151855469 × 65536)
    floor (29215.5)     		tx = 29215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295555114746094 × 216)
    floor (0.295555114746094 × 65536)
    floor (19369.5)     		ty = 19369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29215 / 19369 ti = "16/29215/19369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29215/19369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29215 ÷ 216
    29215 ÷ 65536     		x = 0.445785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19369 ÷ 216
    19369 ÷ 65536     		y = 0.295547485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445785522460938 × 2 - 1) × π
    -0.108428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34063961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295547485351562 × 2 - 1) × π
    0.408905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28461303601826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34063961} λ = -0.34063961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28461303601826))-π/2
    2×atan(3.61326948150939)-π/2
    2×1.30079677052354-π/2
    2.60159354104708-1.57079632675     		φ = 1.03079721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34063961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.517212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03079721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.060330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29215 KachelY 19369 -0.34063961 1.03079721 -19.517212 59.060330
    Oben rechts KachelX + 1 29216 KachelY 19369 -0.34054373 1.03079721 -19.511718 59.060330
    Unten links KachelX 29215 KachelY + 1 19370 -0.34063961 1.03074792 -19.517212 59.057506
    Unten rechts KachelX + 1 29216 KachelY + 1 19370 -0.34054373 1.03074792 -19.511718 59.057506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03079721-1.03074792) × R
    4.92899999999796e-05 × 6371000     		dl = 314.02658999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03079721-1.03074792) × R
    4.92899999999796e-05 × 6371000     		dr = 314.02658999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34063961--0.34054373) × cos(1.03079721) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.514135234120228 × 6371000     		do = 314.060268682464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34063961--0.34054373) × cos(1.03074792) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.51417750997895 × 6371000     		du = 314.086092953333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03079721)-sin(1.03074792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514135234120228-0.51417750997895)×R²
    abs(-0.34054373--0.34063961)×4.2275858722407e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.2275858722407e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.2275858722407e-05×40589641000000     		ar = 98627.3300023327m²