Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29215 / 17983
↖ ↑ ↗
← N 62.757241°
W 19.517212°		 ← 279.62 m → N 62.757241°
W 19.511718°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 62.754726°
W 19.517212°		 ← 279.65 m →
78 193 m²		 N 62.754726°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445793151855469 y=0.274406433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445793151855469 × 216)
    floor (0.445793151855469 × 65536)
    floor (29215.5)     		tx = 29215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274406433105469 × 216)
    floor (0.274406433105469 × 65536)
    floor (17983.5)     		ty = 17983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29215 / 17983 ti = "16/29215/17983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29215/17983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29215 ÷ 216
    29215 ÷ 65536     		x = 0.445785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17983 ÷ 216
    17983 ÷ 65536     		y = 0.274398803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445785522460938 × 2 - 1) × π
    -0.108428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34063961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274398803710938 × 2 - 1) × π
    0.451202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41749412176506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34063961} λ = -0.34063961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41749412176506))-π/2
    2×atan(4.12676629871198)-π/2
    2×1.33305840230201-π/2
    2.66611680460402-1.57079632675     		φ = 1.09532048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34063961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.517212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09532048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.757241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29215 KachelY 17983 -0.34063961 1.09532048 -19.517212 62.757241
    Oben rechts KachelX + 1 29216 KachelY 17983 -0.34054373 1.09532048 -19.511718 62.757241
    Unten links KachelX 29215 KachelY + 1 17984 -0.34063961 1.09527659 -19.517212 62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 29216 KachelY + 1 17984 -0.34054373 1.09527659 -19.511718 62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09532048-1.09527659) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09532048-1.09527659) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34063961--0.34054373) × cos(1.09532048) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.457761562476684 × 6371000     		do = 279.624327925974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34063961--0.34054373) × cos(1.09527659) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 279.648163998681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09532048)-sin(1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457761562476684-0.45780058353743)×R²
    abs(-0.34054373--0.34063961)×3.90210607455477e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.90210607455477e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.90210607455477e-05×40589641000000     		ar = 78192.7791481043m²