Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29215 / 14753
↖ ↑ ↗
← N 69.837729°
W 19.517212°		 ← 210.55 m → N 69.837729°
W 19.511718°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
N 69.835835°
W 19.517212°		 ← 210.57 m →
44 335 m²		 N 69.835835°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445793151855469 y=0.225120544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445793151855469 × 216)
    floor (0.445793151855469 × 65536)
    floor (29215.5)     		tx = 29215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225120544433594 × 216)
    floor (0.225120544433594 × 65536)
    floor (14753.5)     		ty = 14753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29215 / 14753 ti = "16/29215/14753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29215/14753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29215 ÷ 216
    29215 ÷ 65536     		x = 0.445785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14753 ÷ 216
    14753 ÷ 65536     		y = 0.225112915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445785522460938 × 2 - 1) × π
    -0.108428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34063961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225112915039062 × 2 - 1) × π
    0.549774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72716649331062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34063961} λ = -0.34063961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72716649331062))-π/2
    2×atan(5.6246937002031)-π/2
    2×1.39484731684174-π/2
    2.78969463368348-1.57079632675     		φ = 1.21889831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34063961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.517212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21889831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.837729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29215 KachelY 14753 -0.34063961 1.21889831 -19.517212 69.837729
    Oben rechts KachelX + 1 29216 KachelY 14753 -0.34054373 1.21889831 -19.511718 69.837729
    Unten links KachelX 29215 KachelY + 1 14754 -0.34063961 1.21886526 -19.517212 69.835835
    Unten rechts KachelX + 1 29216 KachelY + 1 14754 -0.34054373 1.21886526 -19.511718 69.835835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21889831-1.21886526) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21889831-1.21886526) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34063961--0.34054373) × cos(1.21889831) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344680133931641 × 6371000     		do = 210.548369938725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34063961--0.34054373) × cos(1.21886526) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344711158445847 × 6371000     		du = 210.567321309144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21889831)-sin(1.21886526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344680133931641-0.344711158445847)×R²
    abs(-0.34054373--0.34063961)×3.10245142051135e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10245142051135e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10245142051135e-05×40589641000000     		ar = 44335.3863428329m²