Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29214 / 19118
↖ ↑ ↗
← N 59.761928°
W 19.522705°		 ← 307.59 m → N 59.761928°
W 19.517212°		 →
↑
307.59 m
↓
↑
307.59 m
↓
N 59.759162°
W 19.522705°		 ← 307.61 m →
94 616 m²		 N 59.759162°
W 19.517212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445777893066406 y=0.291725158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445777893066406 × 216)
    floor (0.445777893066406 × 65536)
    floor (29214.5)     		tx = 29214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291725158691406 × 216)
    floor (0.291725158691406 × 65536)
    floor (19118.5)     		ty = 19118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29214 / 19118 ti = "16/29214/19118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29214/19118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29214 ÷ 216
    29214 ÷ 65536     		x = 0.445770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19118 ÷ 216
    19118 ÷ 65536     		y = 0.291717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.10845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34073548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291717529296875 × 2 - 1) × π
    0.41656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30867735962753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34073548} λ = -0.34073548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30867735962753))-π/2
    2×atan(3.70127501755086)-π/2
    2×1.30691937023647-π/2
    2.61383874047295-1.57079632675     		φ = 1.04304241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34073548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04304241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.761928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29214 KachelY 19118 -0.34073548 1.04304241 -19.522705 59.761928
    Oben rechts KachelX + 1 29215 KachelY 19118 -0.34063961 1.04304241 -19.517212 59.761928
    Unten links KachelX 29214 KachelY + 1 19119 -0.34073548 1.04299413 -19.522705 59.759162
    Unten rechts KachelX + 1 29215 KachelY + 1 19119 -0.34063961 1.04299413 -19.517212 59.759162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04304241-1.04299413) × R
    4.82799999999006e-05 × 6371000     		dl = 307.591879999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04304241-1.04299413) × R
    4.82799999999006e-05 × 6371000     		dr = 307.591879999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34073548--0.34063961) × cos(1.04304241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503594131184512 × 6371000     		do = 307.589136371269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34073548--0.34063961) × cos(1.04299413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503635841638299 × 6371000     		du = 307.614612606323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04304241)-sin(1.04299413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503594131184512-0.503635841638299)×R²
    abs(-0.34063961--0.34073548)×4.17104537869806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17104537869806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17104537869806e-05×40589641000000     		ar = 94615.8388836879m²