Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29214 / 19116
↖ ↑ ↗
← N 59.767460°
W 19.522705°		 ← 307.54 m → N 59.767460°
W 19.517212°		 →
↑
307.59 m
↓
↑
307.59 m
↓
N 59.764694°
W 19.522705°		 ← 307.56 m →
94 600 m²		 N 59.764694°
W 19.517212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445777893066406 y=0.291694641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445777893066406 × 216)
    floor (0.445777893066406 × 65536)
    floor (29214.5)     		tx = 29214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291694641113281 × 216)
    floor (0.291694641113281 × 65536)
    floor (19116.5)     		ty = 19116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29214 / 19116 ti = "16/29214/19116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29214/19116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29214 ÷ 216
    29214 ÷ 65536     		x = 0.445770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19116 ÷ 216
    19116 ÷ 65536     		y = 0.29168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.10845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34073548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29168701171875 × 2 - 1) × π
    0.4166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30886910722601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34073548} λ = -0.34073548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30886910722601))-π/2
    2×atan(3.70198479619379)-π/2
    2×1.30696764771983-π/2
    2.61393529543966-1.57079632675     		φ = 1.04313897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34073548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04313897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.767460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29214 KachelY 19116 -0.34073548 1.04313897 -19.522705 59.767460
    Oben rechts KachelX + 1 29215 KachelY 19116 -0.34063961 1.04313897 -19.517212 59.767460
    Unten links KachelX 29214 KachelY + 1 19117 -0.34073548 1.04309069 -19.522705 59.764694
    Unten rechts KachelX + 1 29215 KachelY + 1 19117 -0.34063961 1.04309069 -19.517212 59.764694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04313897-1.04309069) × R
    4.82799999999006e-05 × 6371000     		dl = 307.591879999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04313897-1.04309069) × R
    4.82799999999006e-05 × 6371000     		dr = 307.591879999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34073548--0.34063961) × cos(1.04313897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503510706755464 × 6371000     		do = 307.538181750287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34073548--0.34063961) × cos(1.04309069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503552419556868 × 6371000     		du = 307.563659419237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04313897)-sin(1.04309069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503510706755464-0.503552419556868)×R²
    abs(-0.34063961--0.34073548)×4.17128014036372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17128014036372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17128014036372e-05×40589641000000     		ar = 94600.165876606m²