Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29213 / 18145
↖ ↑ ↗
← N 62.347060°
W 19.528198°		 ← 283.51 m → N 62.347060°
W 19.522705°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 62.344511°
W 19.528198°		 ← 283.53 m →
80 362 m²		 N 62.344511°
W 19.522705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445762634277344 y=0.276878356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445762634277344 × 216)
    floor (0.445762634277344 × 65536)
    floor (29213.5)     		tx = 29213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276878356933594 × 216)
    floor (0.276878356933594 × 65536)
    floor (18145.5)     		ty = 18145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29213 / 18145 ti = "16/29213/18145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29213/18145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29213 ÷ 216
    29213 ÷ 65536     		x = 0.445755004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18145 ÷ 216
    18145 ÷ 65536     		y = 0.276870727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445755004882812 × 2 - 1) × π
    -0.108489990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34083136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276870727539062 × 2 - 1) × π
    0.446258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40196256628816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34083136} λ = -0.34083136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40196256628816))-π/2
    2×atan(4.06316638034165)-π/2
    2×1.3294789007112-π/2
    2.6589578014224-1.57079632675     		φ = 1.08816147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34083136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.528198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08816147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.347060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29213 KachelY 18145 -0.34083136 1.08816147 -19.528198 62.347060
    Oben rechts KachelX + 1 29214 KachelY 18145 -0.34073548 1.08816147 -19.522705 62.347060
    Unten links KachelX 29213 KachelY + 1 18146 -0.34083136 1.08811698 -19.528198 62.344511
    Unten rechts KachelX + 1 29214 KachelY + 1 18146 -0.34073548 1.08811698 -19.522705 62.344511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08816147-1.08811698) × R
    4.44900000000636e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08816147-1.08811698) × R
    4.44900000000636e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34083136--0.34073548) × cos(1.08816147) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.464114674493409 × 6371000     		do = 283.50513580416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34083136--0.34073548) × cos(1.08811698) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.464154082169303 × 6371000     		du = 283.529208041303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08816147)-sin(1.08811698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464114674493409-0.464154082169303)×R²
    abs(-0.34073548--0.34083136)×3.94076758942208e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.94076758942208e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.94076758942208e-05×40589641000000     		ar = 80361.7487872983m²