Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29210 / 19366
↖ ↑ ↗
← N 59.068801°
W 19.544678°		 ← 313.98 m → N 59.068801°
W 19.539184°		 →
↑
313.96 m
↓
↑
313.96 m
↓
N 59.065978°
W 19.544678°		 ← 314.01 m →
98 583 m²		 N 59.065978°
W 19.539184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445716857910156 y=0.295509338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445716857910156 × 216)
    floor (0.445716857910156 × 65536)
    floor (29210.5)     		tx = 29210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295509338378906 × 216)
    floor (0.295509338378906 × 65536)
    floor (19366.5)     		ty = 19366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29210 / 19366 ti = "16/29210/19366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29210/19366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29210 ÷ 216
    29210 ÷ 65536     		x = 0.445709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19366 ÷ 216
    19366 ÷ 65536     		y = 0.295501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445709228515625 × 2 - 1) × π
    -0.10858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34111898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295501708984375 × 2 - 1) × π
    0.40899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28490065741599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34111898} λ = -0.34111898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28490065741599))-π/2
    2×atan(3.61430888459812)-π/2
    2×1.30087069955072-π/2
    2.60174139910144-1.57079632675     		φ = 1.03094507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34111898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.544678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03094507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.068801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29210 KachelY 19366 -0.34111898 1.03094507 -19.544678 59.068801
    Oben rechts KachelX + 1 29211 KachelY 19366 -0.34102310 1.03094507 -19.539184 59.068801
    Unten links KachelX 29210 KachelY + 1 19367 -0.34111898 1.03089579 -19.544678 59.065978
    Unten rechts KachelX + 1 29211 KachelY + 1 19367 -0.34102310 1.03089579 -19.539184 59.065978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03094507-1.03089579) × R
    4.92800000000404e-05 × 6371000     		dl = 313.962880000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03094507-1.03089579) × R
    4.92800000000404e-05 × 6371000     		dr = 313.962880000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34111898--0.34102310) × cos(1.03094507) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.514008407627761 × 6371000     		do = 313.982796531837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34111898--0.34102310) × cos(1.03089579) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.514050678655605 × 6371000     		du = 314.008617851757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03094507)-sin(1.03089579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514008407627761-0.514050678655605)×R²
    abs(-0.34102310--0.34111898)×4.2271027843821e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.2271027843821e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.2271027843821e-05×40589641000000     		ar = 98582.9965578189m²