Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29209 / 19211
↖ ↑ ↗
← N 59.503667°
W 19.550171°		 ← 309.96 m → N 59.503667°
W 19.544678°		 →
↑
309.95 m
↓
↑
309.95 m
↓
N 59.500880°
W 19.550171°		 ← 309.99 m →
96 077 m²		 N 59.500880°
W 19.544678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445701599121094 y=0.293144226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445701599121094 × 216)
    floor (0.445701599121094 × 65536)
    floor (29209.5)     		tx = 29209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293144226074219 × 216)
    floor (0.293144226074219 × 65536)
    floor (19211.5)     		ty = 19211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29209 / 19211 ti = "16/29209/19211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29209/19211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29209 ÷ 216
    29209 ÷ 65536     		x = 0.445693969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19211 ÷ 216
    19211 ÷ 65536     		y = 0.293136596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445693969726562 × 2 - 1) × π
    -0.108612060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34121485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293136596679688 × 2 - 1) × π
    0.413726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2997610962982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34121485} λ = -0.34121485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2997610962982))-π/2
    2×atan(3.66842016376653)-π/2
    2×1.3046656195849-π/2
    2.6093312391698-1.57079632675     		φ = 1.03853491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34121485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.550171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03853491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.503667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29209 KachelY 19211 -0.34121485 1.03853491 -19.550171 59.503667
    Oben rechts KachelX + 1 29210 KachelY 19211 -0.34111898 1.03853491 -19.544678 59.503667
    Unten links KachelX 29209 KachelY + 1 19212 -0.34121485 1.03848626 -19.550171 59.500880
    Unten rechts KachelX + 1 29210 KachelY + 1 19212 -0.34111898 1.03848626 -19.544678 59.500880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03853491-1.03848626) × R
    4.86500000000945e-05 × 6371000     		dl = 309.949150000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03853491-1.03848626) × R
    4.86500000000945e-05 × 6371000     		dr = 309.949150000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34121485--0.34111898) × cos(1.03853491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50748321329212 × 6371000     		do = 309.964540159121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34121485--0.34111898) × cos(1.03848626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507525132530508 × 6371000     		du = 309.990143917257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03853491)-sin(1.03848626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50748321329212-0.507525132530508)×R²
    abs(-0.34111898--0.34121485)×4.1919238388255e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1919238388255e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1919238388255e-05×40589641000000     		ar = 96077.2137032629m²