Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29208 / 18152
↖ ↑ ↗
← N 62.329209°
W 19.555664°		 ← 283.67 m → N 62.329209°
W 19.550171°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
N 62.326657°
W 19.555664°		 ← 283.70 m →
80 482 m²		 N 62.326657°
W 19.550171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445686340332031 y=0.276985168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445686340332031 × 216)
    floor (0.445686340332031 × 65536)
    floor (29208.5)     		tx = 29208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276985168457031 × 216)
    floor (0.276985168457031 × 65536)
    floor (18152.5)     		ty = 18152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29208 / 18152 ti = "16/29208/18152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29208/18152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29208 ÷ 216
    29208 ÷ 65536     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18152 ÷ 216
    18152 ÷ 65536     		y = 0.2769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2769775390625 × 2 - 1) × π
    0.446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40129144969348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40129144969348))-π/2
    2×atan(4.06044043677215)-π/2
    2×1.32932311688624-π/2
    2.65864623377247-1.57079632675     		φ = 1.08784991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08784991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.329209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29208 KachelY 18152 -0.34131073 1.08784991 -19.555664 62.329209
    Oben rechts KachelX + 1 29209 KachelY 18152 -0.34121485 1.08784991 -19.550171 62.329209
    Unten links KachelX 29208 KachelY + 1 18153 -0.34131073 1.08780538 -19.555664 62.326657
    Unten rechts KachelX + 1 29209 KachelY + 1 18153 -0.34121485 1.08780538 -19.550171 62.326657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08784991-1.08780538) × R
    4.45300000000426e-05 × 6371000     		dl = 283.700630000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08784991-1.08780538) × R
    4.45300000000426e-05 × 6371000     		dr = 283.700630000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34121485) × cos(1.08784991) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.464390624060615 × 6371000     		do = 283.673700005529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34121485) × cos(1.08780538) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.464430060725481 × 6371000     		du = 283.697789950628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08784991)-sin(1.08780538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464390624060615-0.464430060725481)×R²
    abs(-0.34121485--0.34131073)×3.94366648661659e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.94366648661659e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.94366648661659e-05×40589641000000     		ar = 80481.8245856516m²