Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29207 / 40790
↖ ↑ ↗
← S 40.271144°
W 19.561157°		 ← 466.03 m → S 40.271144°
W 19.555664°		 →
↑
466.04 m
↓
↑
466.04 m
↓
S 40.275335°
W 19.561157°		 ← 466 m →
217 180 m²		 S 40.275335°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445671081542969 y=0.622413635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445671081542969 × 216)
    floor (0.445671081542969 × 65536)
    floor (29207.5)     		tx = 29207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622413635253906 × 216)
    floor (0.622413635253906 × 65536)
    floor (40790.5)     		ty = 40790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29207 / 40790 ti = "16/29207/40790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29207/40790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29207 ÷ 216
    29207 ÷ 65536     		x = 0.445663452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40790 ÷ 216
    40790 ÷ 65536     		y = 0.622406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445663452148438 × 2 - 1) × π
    -0.108673095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34140660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.24481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.769099617504181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34140660} λ = -0.34140660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769099617504181))-π/2
    2×atan(0.463430144909329)-π/2
    2×0.433966137972887-π/2
    0.867932275945774-1.57079632675     		φ = -0.70286405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34140660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.561157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70286405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.271144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29207 KachelY 40790 -0.34140660 -0.70286405 -19.561157 -40.271144
    Oben rechts KachelX + 1 29208 KachelY 40790 -0.34131073 -0.70286405 -19.555664 -40.271144
    Unten links KachelX 29207 KachelY + 1 40791 -0.34140660 -0.70293720 -19.561157 -40.275335
    Unten rechts KachelX + 1 29208 KachelY + 1 40791 -0.34131073 -0.70293720 -19.555664 -40.275335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70286405--0.70293720) × R
    7.31500000000773e-05 × 6371000     		dl = 466.038650000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70286405--0.70293720) × R
    7.31500000000773e-05 × 6371000     		dr = 466.038650000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34140660--0.34131073) × cos(-0.70286405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762993981224935 × 6371000     		do = 466.02739231579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34140660--0.34131073) × cos(-0.70293720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76294669461483 × 6371000     		du = 465.998510232653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70286405)-sin(-0.70293720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762993981224935-0.76294669461483)×R²
    abs(-0.34131073--0.34140660)×4.72866101045577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72866101045577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72866101045577e-05×40589641000000     		ar = 217180.046791442m²