Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29207 / 36403
↖ ↑ ↗
← N 62.202670°
W 99.780579°		 ← 142.43 m → N 62.202670°
W 99.777832°		 →
↑
142.46 m
↓
↑
142.46 m
↓
N 62.201389°
W 99.780579°		 ← 142.44 m →
20 291 m²		 N 62.201389°
W 99.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222835540771484 y=0.277736663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222835540771484 × 217)
    floor (0.222835540771484 × 131072)
    floor (29207.5)     		tx = 29207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277736663818359 × 217)
    floor (0.277736663818359 × 131072)
    floor (36403.5)     		ty = 36403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29207 / 36403 ti = "17/29207/36403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29207/36403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29207 ÷ 217
    29207 ÷ 131072     		x = 0.222831726074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36403 ÷ 217
    36403 ÷ 131072     		y = 0.277732849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222831726074219 × 2 - 1) × π
    -0.554336547851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.74149963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277732849121094 × 2 - 1) × π
    0.444534301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.3965456966311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74149963} λ = -1.74149963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3965456966311))-π/2
    2×atan(4.04121624185652)-π/2
    2×1.32821885719451-π/2
    2.65643771438901-1.57079632675     		φ = 1.08564139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74149963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.780579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08564139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.202670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29207 KachelY 36403 -1.74149963 1.08564139 -99.780579 62.202670
    Oben rechts KachelX + 1 29208 KachelY 36403 -1.74145169 1.08564139 -99.777832 62.202670
    Unten links KachelX 29207 KachelY + 1 36404 -1.74149963 1.08561903 -99.780579 62.201389
    Unten rechts KachelX + 1 29208 KachelY + 1 36404 -1.74145169 1.08561903 -99.777832 62.201389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08564139-1.08561903) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dl = 142.455559999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08564139-1.08561903) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dr = 142.455559999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74149963--1.74145169) × cos(1.08564139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466345422553503 × 6371000     		do = 142.433895778923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74149963--1.74145169) × cos(1.08561903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466365202153421 × 6371000     		du = 142.439936977865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08564139)-sin(1.08561903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466345422553503-0.466365202153421)×R²
    abs(-1.74145169--1.74149963)×1.97795999176686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97795999176686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97795999176686e-05×40589641000000     		ar = 20290.9306881963m²