Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29207 / 19578
↖ ↑ ↗
← N 58.464975°
W 19.561157°		 ← 319.45 m → N 58.464975°
W 19.555664°		 →
↑
319.44 m
↓
↑
319.44 m
↓
N 58.462102°
W 19.561157°		 ← 319.48 m →
102 051 m²		 N 58.462102°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445671081542969 y=0.298744201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445671081542969 × 216)
    floor (0.445671081542969 × 65536)
    floor (29207.5)     		tx = 29207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298744201660156 × 216)
    floor (0.298744201660156 × 65536)
    floor (19578.5)     		ty = 19578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29207 / 19578 ti = "16/29207/19578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29207/19578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29207 ÷ 216
    29207 ÷ 65536     		x = 0.445663452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19578 ÷ 216
    19578 ÷ 65536     		y = 0.298736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445663452148438 × 2 - 1) × π
    -0.108673095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34140660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298736572265625 × 2 - 1) × π
    0.40252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26457541197708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34140660} λ = -0.34140660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26457541197708))-π/2
    2×atan(3.54158870068945)-π/2
    2×1.29560132079885-π/2
    2.5912026415977-1.57079632675     		φ = 1.02040631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34140660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.561157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02040631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.464975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29207 KachelY 19578 -0.34140660 1.02040631 -19.561157 58.464975
    Oben rechts KachelX + 1 29208 KachelY 19578 -0.34131073 1.02040631 -19.555664 58.464975
    Unten links KachelX 29207 KachelY + 1 19579 -0.34140660 1.02035617 -19.561157 58.462102
    Unten rechts KachelX + 1 29208 KachelY + 1 19579 -0.34131073 1.02035617 -19.555664 58.462102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02040631-1.02035617) × R
    5.01400000001428e-05 × 6371000     		dl = 319.44194000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02040631-1.02035617) × R
    5.01400000001428e-05 × 6371000     		dr = 319.44194000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34140660--0.34131073) × cos(1.02040631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523019688050107 × 6371000     		do = 319.454028930213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34140660--0.34131073) × cos(1.02035617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523062422747554 × 6371000     		du = 319.480130760769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02040631)-sin(1.02035617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523019688050107-0.523062422747554)×R²
    abs(-0.34131073--0.34140660)×4.27346974467557e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27346974467557e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27346974467557e-05×40589641000000     		ar = 102051.183773589m²